?

Log in

ВОПРОС К МАТЕМАТИКАМ ПО ТЕОРИИ ЗАМОЩЕНИЙ ! - ЗА ВЕРУ, ЦАРЯ И ОТЕЧЕСТВО [entries|archive|friends|userinfo]
ЗА ВЕРУ, ЦАРЯ И ОТЕЧЕСТВО

[ website | Савватеев ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

ВОПРОС К МАТЕМАТИКАМ ПО ТЕОРИИ ЗАМОЩЕНИЙ ! [Oct. 6th, 2012|10:35 pm]
ЗА ВЕРУ, ЦАРЯ И ОТЕЧЕСТВО
Дорогие друзья !!

Отложите на время хватания за последнюю соломинку в деле защиты
Запада от злого и несправедливого савватеева (типа ну всё же тёте в
конце концов разрешили быть с детьми, ведь не могло же ТАМ быть
иначе и т.п. и т.д.), и ответьте на следующий научный вопрос :-)))).

А именно, при завершении работы над докторской диссертацией
я столкнулся с фактом, который бы мне хотелось считать верным.

Но, несмотря на интуицию, склоняющую меня к его верности, сходу
доказать его не получается. Вероятно, этот факт хорошо известен (?):

Пускай $X$~--- выпуклое центрально-симметричное множество в $R^d$.
(Шар в некой метрике, на самом деле.) Предположим, что конгруэнтными
ему множествами нельзя замостить всё пространство (например, если
оно не многогранник - так ведь, тогда точно нельзя? Или многогранник,
но такой, которым нельзя).

Тогда существует такое \varepsilon, что, для любого вообще замощения
пространства, доля объёма, занятого телами отличающимися от $X$ по
Хаусдорфу не более, чем на \varepsilon, будет не больше, чем 1-\varepsilon.
(Иначе говоря, если нельзя замостить пространство данным телом, то и
"почти данным" телом тоже нельзя "почти замостить".)

По Хаусдорфу - для выпуклых тел означает, что граница тела содержится
в \varepsilon окрестности конгруэнтного образа границы тела $X$.

Кто что знает про это? Спасибо за любые мысли и ссылки !!!!!!
linkReply

Comments:
(Deleted comment)
[User Picture]From: savvateev
2012-10-08 10:35 am (UTC)
Федя всё верно написал !!!

А ты сузил радиус множества людей, среди которых я могу тебя искать :-)))) Смолянов, кандмин - да ты про меня всё на свете знаешь !!!!! Только, всё-таки, не могу прямо сейчас тебя вычислить - слишком много времени утекло. Может, ещё подсказочку дашь :-))?
(Reply) (Parent) (Thread)
(Deleted comment)
[User Picture]From: savvateev
2012-10-08 12:19 pm (UTC)
hibiny
на мэйлру

Конечно, только дружественные :-)))) !
(Reply) (Parent) (Thread)
From: a_shen
2012-10-06 08:03 pm (UTC)

что-то тут не так:

расстояние Хаусдорфа измеряется в абсолютных единицах (и если множества растянуть в k раз, то оно увеличится в k раз), а доля объёма в относительных (и при гомотетии не меняется)

Скажи более конкретно, зачем тебе это нужно, и тогда может быть ясно, что именно ты имеешь в виду
(Reply) (Thread)
[User Picture]From: rus4
2012-10-06 09:44 pm (UTC)
ну меняется при растяжениях, и что? епсилон же может (и, очевидно, должен) зависеть от X.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: rus4
2012-10-06 10:12 pm (UTC)
1) если пространство почти разбивается на почти иксы, то оно почти разбивается на иксы (почти покроем почти иксами, слегка раздуем, в каждом раздутом почти иксе найдем икс. плотность не сильно испортилась)

2) итак, есть сколь угодно плотные упаковки иксов в сколь угодно больших шарах. разбиваем пространство на единичные кубики, нумеруем их (как угодно). фиксируем натуральное k. заметим, что можно так упаковать иксы, что в каждом из первых k кубиков будет покрыт объем хотя бы 1-1/k (надо взять упаковки огромного шара плотности хотя бы 1-1/k^3 и двигать шаблон из первых k кубиков всеми способами, один из них подойдет). Назовем такую упаковку большого шара пи_k. Теперь из этих упаковок выберем сходящуюся последовательность, это значит следующее: для каждого R смотрим, где лежат те иксы упаковки, которые задевают шар радиуса R с центром в нуле. Такие наборы иксов образуют компакт в естественной топологии. Берем далее все натуральные иксы и произведение соотв. компактов. По теореме Тихонова (в данном случае хватает диагонального процесса) можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Вот она и будет разбиением всего пространства на иксы.
(Reply) (Thread)
[User Picture]From: ver1958
2012-10-07 09:59 am (UTC)

В вашем рассуждении

есть пробел. Епсилон может зависеть от Х, но не может зависеть от огромного шара, упаковки которого Вы рассматриваете.

Можно заметить также, что Вы не используете выпуклость Х и центральную симметричность Х. Правда, это ничему не противоречит, поскольку даже и среди таких тел я не вижу контр-примера.

Edited at 2012-10-07 10:04 am (UTC)
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: rus4
2012-10-07 11:36 am (UTC)
Я предполагаю, что искомого эпсилона не существует. Это значит, что есть сколь угодно плотные упаковки в сколь угодно больших шарах. Выпуклость и симметричность не используются.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: ver1958
2012-10-07 12:15 pm (UTC)

ясно,

я невнимательно прочитал

Тогда, вроде, все правильно
(Reply) (Parent) (Thread)
From: a_shen
2012-10-07 12:04 pm (UTC)

Re: В вашем рассуждении

тут надо чуть более аккуратно говорить о плотности, но по существу всё, конечно, верно.

1) сначала надо доказать, что найдётся куб и \eps, такой, что непересекающиеся копии X внутри этого шар не могут занимать больше 1-\eps. Отсюда это следует для любого достаточно большого куба (разрезаем на меньшие, если кратен; если не кратен, придётся немного уменьшить \eps).

2. Отсюда следует, что и близкие тела не могут занимать больше 1-\eps' в любом достаточно большом кубе, если \eps' < \eps и близость достаточна. Если близкие тела не пересекаются, то мы замечаем, то чуть меньшие точные копии тоже не пересекаются, то есть получаем размещение X в чуть большем кубе чуть меньшей плотности. Это, видимо, то утверждение, которого хочет Лёша (я сначала не понял, чего он хочет)

3. Осталость доказать утверждение в п. 1. Достаточно доказать, что нельзя добиться, чтобы внутри большого куба было покрыто 100%, после этого по компактности можно взять максимально плотное покрытие (для данного куба нас интересует конечное число копий X, расположенных не слишком далеко от начала, так что максимум по компактному множеству). Здесь, впрочем, надо использовать, что X имеет непустую внутренность (для шара в норме это верно) - иначе вообще что такое покрытие, надо уточнять (мы допускаем пересечения по границе, а в этом случае всё может быть границей), и дело тёмное.

4. Теперь осталось доказать, что если можно покрыть сколь угодно большой куб, то можно покрыть и всё пространство. Тут тоже надо пользоваться компактностью, и это следует делать аккуратно, так как если мы рассматриваем конфигурационное пространство для всех непересекающихся размещений, оно уже не компактно. Но можно выбирать подпоследовательности по очереди в окрестностях возрастающего размера, а потом выбрать диагональ. (В рассуждении rus_4, которое я пересказываю, эти два шага объединены)

Edited at 2012-10-07 12:18 pm (UTC)
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: savvateev
2012-10-08 10:33 am (UTC)

Re: В вашем рассуждении

Ага, всё верно. Спасибо (и тебе, и Феде особенно) !!!
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: savvateev
2012-10-08 10:38 am (UTC)
Спасибо, Федя !!!!!! У меня мысли не было, что множество упаковок - компакт. Признаю, что я осёл ! А тебе - огромное спасибо !!!! Прямо в диссере тебя отблагодарю. Кстати, у меня ещё одна задачка висит, но скорее из алгебры. Но всему своё время. А вот увидеться в этот раз в Питере - задача более важная ! Ты не собирался в CSClub 14 октября на мою лекцию?
До Технологического мы, похоже, так и не доберёмся. Разве что 20 октября вместе с моей мамой на концерт Растеряева - клуб Космонавт. Но пока не знаем, получится ли !
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: whiteferz
2012-10-08 11:52 am (UTC)
Блин, что множество упаковок - компакт, мне в голову самостоятельно не пришло.

Позорище. Похоже, Альцгеймер подкрадывается.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: savvateev
2012-10-08 12:23 pm (UTC)
и мне тоже !!!!!!
Только это не Альцгеймер, а п----ц
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: whiteferz
2012-10-08 12:50 pm (UTC)
Ну, к наступлению пушного зверя хоть завтра нормальный верующий вроде нас должен быть ежесекундно готов.

А вот подготовиться к Альцгеймеру невозможно. :)
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: savvateev
2012-10-09 05:11 am (UTC)
а кто такой альцгеймер? я думал, это синоним п--ца :-))
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: whiteferz
2012-10-09 06:58 am (UTC)
Растянутый такой синоним. Посещает примерно каждого пятого, кто доживает до преклонных лет. Собака Рэйган, например, именно от него дуба дал.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: savvateev
2012-10-09 07:07 am (UTC)
А, так это какой-то недуг?
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: whiteferz
2012-10-09 07:50 am (UTC)
Нейродегенеративный. Принадлежит к заболеваниям, накладывающим самый тяжёлый финансовый груз на общество в развитых странах.

ru.wikipedia.org/wiki/%C1%EE%EB%E5%E7%ED%FC_%C0%EB%FC%F6%E3%E5%E9%EC%E5%F0%E0

Что интересно, Штаты, например, прекратили поиск медикаментозного лечения.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: savvateev
2012-10-15 10:52 am (UTC)
жуть. Спаси нас Господь от всяческой почти !
(Reply) (Parent) (Thread)
From: (Anonymous)
2012-10-09 06:30 am (UTC)
давай задачу из алгебры, нечего таить ))) правда, только думать начнешь, а rus4 ее уже и решит )
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: savvateev
2012-10-09 07:00 am (UTC)
Ладно, даю ! Итак: задано несколько векторов длины 1 на плоскости. Строим абелеву группу комплексных чисел, порождённую ими (все целые комбинации). Сколько ещё векторов длины 1 может появиться в ней?

Идеальный ответ, которого я жду:

1. В большинстве случаев их появляется немного, не более, чем ещё столько же. Более того, почти всегда можно выбрать две системы векторов единичной длины, таких, что образованные ими абелевы группы - свободны, без соотношений.

2. Исключительные случаи (они, увы, есть) очень просто описываются. УДАЧИ !!!!!!!!

(Не скажу, какой именно _нерешённой_ проблеме эквивалентна эта задача, сами догадайтесь :-))))))))
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: k_150
2012-10-07 05:15 am (UTC)
Берёшь куб. Обрезаешь уголочки, чтоб замостить было нельзя. Расстояние по Хаусдорфу от куба до обрезанного куба пусть \varepsilon.
Замощение обрезанными кубами и отрезанными уголочками будет иметь объёмную долю уголочков порядка \varepsilon^d.

1- \varepsilon^d > 1- \varespilon.
(Reply) (Thread)
[User Picture]From: savvateev
2012-10-08 10:39 am (UTC)
как всегда, не понимаю, ты шутишь или серьёзен. Напиши - если ты тут серьёзно, то я объясню, в чём очевидный прокол.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: k_150
2012-10-08 06:57 pm (UTC)
как всегда, не понимаю, ты шутишь или серьёзен.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: k_150
2012-10-08 07:21 pm (UTC)
А, у тебя \varepsilon от X зависит. Тогда зачем нужны все эти центральные симметрии?
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: savvateev
2012-10-09 05:12 am (UTC)
на самом деле и не нужны вовсе, просто в исходной задаче речь шла о шаре в некоей норме. "Поверьте мне, молодой человек, что уж минимальными познаниями в своей области я обладаю" - (с) профессор Челленджер
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: ver1958
2012-10-07 10:21 am (UTC)

Еще надо уточнить, что понимается

под плотностью. Надо ли это понимать как то, что в любом достаточно большом кубе плотность множества не больше 1-\varepsilon ? А может как то, что существуют кубы сколь угодно большого размера, в которых плотность множества не больше 1-\varepsilon ?

Edited at 2012-10-07 10:27 am (UTC)
(Reply) (Thread)
From: a_shen
2012-10-07 12:19 pm (UTC)

Re: Еще надо уточнить, что понимается

ну да, но это всё равно - см. выше
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: savvateev
2012-10-08 10:31 am (UTC)

Re: Еще надо уточнить, что понимается

нет, надо чтобы в любом. Федя правильно решил, а я мог бы и сам догадаться !!!!!!!
(Reply) (Parent) (Thread)