?

Log in

No account? Create an account
НА СУД МАТЕМАТИКОВ И ЛЮБИТЕЛЕЙ - ЗА ВЕРУ, ЦАРЯ И ОТЕЧЕСТВО [entries|archive|friends|userinfo]
ЗА ВЕРУ, ЦАРЯ И ОТЕЧЕСТВО

[ website | Савватеев ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

НА СУД МАТЕМАТИКОВ И ЛЮБИТЕЛЕЙ [Nov. 12th, 2013|11:08 pm]
ЗА ВЕРУ, ЦАРЯ И ОТЕЧЕСТВО
Друзья !!

Хочу вашего совета, критики, рекомендаций и вообще внимания.

Ниже приводится конспект начальной теории Галуа - "для чайников". Я не
называю решения полиномиальных уравнений "корнями многочленов, дабы не
путать их с корнями $l$-х степеней, которые также обсуждаются. Все ниже
приведённые мысли и выкладки происходят в поле алгебраических чисел.

Укажите, что неверно/неясно/туманно/можно лучше изложить !
=========================================================================
Идея всего курса такова.

Для многочлена $x^5 - 6x + 3$ нельзя написать формулу решения (уточнить,
что конкретно имеется в виду - что ни одно решение нельзя задать!). Из
этого уже следует, что общей формулы не существует (опять - ни для
одного из решений). Доказательство состоит из нескольких шагов:

1. Если формулу для решения, хотя бы одного, написать можно
(с использованием пяти операций арифметики), то это решение будет
лежать в поле, полученном путём последовательного расширения - надстройки
циклических расширений - в те моменты, когда берётся корень $l$-й степени,
если хотя бы один из $l$ таких корней не лежит в предыдущем поле.

2. Каждое циклическое расширение НОРМАЛЬНО - то есть, вместе с любым
решением любого полиномиального уравнения содержит и все остальные его
решения (проверить это !!!!). Башня нормальных расширений также нормальна.

3. "Верхний этаж" башни, будучи нормальным и содержа решение исходного
уравнения, содержит минимальное нормальное расширение ${\bf Q}$, которое
содержит (одно из, следовательно все) решения. (Пересечение нормальных
расширений также нормально, вроде бы - но проверить и убедиться!)

4. Дальше следует некий момент, который я понимаю туманно. Мы получили,
что башня циклических расширений содержит поле разложения многочлена
$x^5 - 6x + 3$. Тогда как бы это поле тоже должно быть башней циклических
расширений, что ли. Короче, группа автоморфизмов для верхнего этажа нашей
"циклической" башни должна быть разрешима - ведь любой этаж разрешим.
И тогда разрешимой является любая её то ли подгруппа, то ли фактор. Тут
понадобиться перечитать какую-то теорию групп, не могу сам домыслить.
Или ещё стоит полетать на самолётике :-))). В общем, тут пока затык.

5. Потом всё как по маслу - дело в том, что, согласно критерию Эйзенштейна,
многочлен $x^5 - 6x + 3$ неприводим. Тогда группа Галуа автоморфизмов его
поля разложения транзитивна (любое решение можно перевести в любое). Это
надо тоже додумать, но интуитивно ясно, что это так. Кроме того, аккуратный
анализ поведения нашего многочлена (с помощью обычных методов) выявляет,
что у него ровно три ${\bf R}$-решения и два (сопряжённых, естественно!)
комплексных. Так вот, последний шаг:

6. Комплексное сопряжение - один из автоморфизмов, элемент группы Галуа !
Но это транспозиция. Если транзитивная подгруппа симметрической группы
содержит транспозицию, то то она совпадает с $S_5$ (должна быть простая
арифметика перестановок). А группа Галуа по-любому подгруппа в $S_5$,
ибо если все решения остаются на месте, то ничего не движется. Значит,
поле разложения имеет размерность $120=5!$ над ${\bf Q}$, группа Галуа
будет вся симметрическая, а последняя неразрешима (что известно и просто).

Полученное противоречие завершает вводный курс лекций по теории Галуа !

PS Это всё "по мотивам" книги Босса. А какие книги вы мне порекомендуете?
linkReply

Comments:
[User Picture]From: whiteferz
2013-11-12 02:45 pm (UTC)
Представим, я пришел на курс (по своему нынешнему состоянию мозгов, увы, близок). И у меня на первом предложении затык:

=== 1. Если формулу для решения, хотя бы одного, написать можно
(с использованием пяти операций арифметики)
===

"Для решения, хотя бы одного" - в каком поле? действительных чисел? (Там ведь у этого многочлена есть корень.) Или того самого, которое получится конечным циклическим расширением?

=== то есть, вместе с любым решением любого полиномиального уравнения содержит и все остальные его решения ===

2. Мммм, а если я беру многочлен (x^2 + 1)*P(x) то, согласно этому утверждению, он вместе с корнем i должен содержать все корни многочлена P(x).
Готов в это поверить :), но откуда это следует в твоей последовательности тезисов?

3. Допустим.

4. Да, затык...
(Reply) (Thread)
[User Picture]From: savvateev
2013-11-13 12:37 am (UTC)

Привет, дружище !!!

=== 1.

Я специально выше написал: "Все ниже приведённые мысли и выкладки
происходят в поле алгебраических чисел." В смысле, в поле, полученном
из рациональных чисел путём присоединения всех решений всех
уравнений с целыми коэффициентами. Там и ищем :-))). Суть-то
именно в том, что в циклических башнях, вообще говоря, решение
не найти, поэтому и формулы нет :-)))

=== 2.

Вот тут мне самому надо немного почитать алгебру до начала курса :-)).
Что в точности имеется в виду под нормальным расширением. Может,
кто из читателей напомнит :-)). Потому что ключевой шаг - если башня
циклических расширений содержит одно решение, то она содержит и
все остальные решения рассматриваемого уравнения (это надо доказать,
и я пока не знаю, как это сделать). Наверное, это что-то элементарное.

Спасибо огромное за комментарии !!!!!
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: whiteferz
2013-11-13 07:23 am (UTC)
1. Спасибо, здесь ты прав.

2. Наверное, речь в данном случае идет лишь об уравнениях вида P(x)=0, где P не разлагаем на множители с коэффициентами в исходном поле.
Это первое, что на ум приходит.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: savvateev
2013-11-13 12:41 am (UTC)

....пошёл посрать, вернулся и понял:

Нормальное расширение - это которое содержит, вместе с
одним решением НЕПРИВОДИМОГО уравнения, все остальные.
То, которое ты написал, разлагается на множители :-))))) !
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: whiteferz
2013-11-13 07:24 am (UTC)
Ну да, считаем, я тоже туда же пошел, с тем же эффектом. :)
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: savvateev
2013-11-13 09:12 am (UTC)
Именно :-))))) !

Жаль, алгебраисты меня игнорируют !!! Не дают советов,
не критикуют ! Как ерунду всякую писать по политическим
и социальным вопросам, так все горазды - а как Алексея
Владимировича уму-разуму в математике научить - так
сразу в кусты :-))))))))) ! Позор, позор всем !!!!!
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: whiteferz
2013-11-13 09:20 am (UTC)
4. === Тогда как бы это поле тоже должно быть башней циклических
расширений, что ли.
===

Так у тебя, если я правильно понимаю, число необходимых расширений для этого многочлена будет конечно. Это мы с тобой по функанской привычке в бесконечность башню выращиваем, что вовсе не обязательно.

Короче, как у Лазарчука - "профан строит башню, посвященный кладет мозаику". :)

Дальше мне трудно, потому как работы много, это во-первых. Во-вторых, мне даже что такое "разрешимая группа", надо вспоминать.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: savvateev
2013-11-13 11:32 pm (UTC)
Конечное, конечно :-)). Но это всё равно вызывает вопросы.
Я тут заглянул в Чеботарёва - оказывается, это не у меня одного
затык. тот же затык был у Руффини, а Абель его снял :-)))) !
Постепенно всё проясняется.
(Reply) (Parent) (Thread)
From: ald1976
2013-11-14 12:26 am (UTC)
Рассуждение заведомо неверно, потому, что оно вообще никаких свойств исходного многочлена не использует, кроме неприводимости.

А неприводимость - это очень мало, чтобы обеспечить неразрешимость в радикалах.

Например, берем любое алгебраическое число 5-й степени, представимое в радикалах, находим его минимальный многочлен - он будет неприводим, но уравнение - разрешимо в радикалах.

Почитать - Прасолова, например (в его ЖЖ выложен большой список литературы). А вот стоит ли читать после прочтения лекции - сами думайте.

Да и не для того теория Галуа, чтобы уравнения в радикалах решать.
(Reply) (Thread)
[User Picture]From: rus4
2013-11-14 11:06 pm (UTC)
Еще используется, что ровно 3 вещественных корня, а два комплексных.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: savvateev
2013-11-15 01:52 am (UTC)
Привет, Федя !!!!! А ты заметил какие-нибудь существенные огрехи?
Помимо тех пресловутых корней из единицы в нижнем этаже, о
которых мне уже по электронной почте написали :-)))) !
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: savvateev
2013-11-15 01:51 am (UTC)

ну Вы уж меня совсем за идиота-то не считайте, ладно :-))?

Как же не используется, когда именно на основании наличия
трёх вещественных корней и двух комплексных делается вывод
о том, что комплексное сопряжение - которое в данном случае
перестановка двух корней местами, не трогая остальных трёх! -
один из автоморфизмов группы Галуа. Дальше по тексту того,
что написано мною выше - неприводимость гарантирует
транзитивность, наличие одной транспозиции - всё остальное.
Другое дело, что деталей я не проверял пока. Лучше скажите,
есть ли более тонкие пробелы, которые я не заметил (на самом
деле мне друг из Израиля уже указал на некоторые очевидные;
они связаны с наличием корней из единицы в нижнем этаже.
Это я уже осознал. Есть ли ещё какие-нибудь? Пишите тогда!).
(Reply) (Parent) (Thread)
From: ald1976
2013-11-15 08:31 pm (UTC)

Re: ну Вы уж меня совсем за идиота-то не считайте, ладно :-

По поводу 3+2 согласен.
И уж точно не держу Вас за идиота.

Но какая основная цель лекции или курса лекций - непонятно?

Если - предъявить многочлен с полной группой Галуа - это совсем не сложно и много где делается.

Если - научить руками считать группы Галуа - то зачем? Несколько алгоритмов общеизвестны, да и никто никогда руками не считает - кроме как в учебных задачках.

Если - разобраться с теорией Галуа, то тут, наверное, лучше книжки читать (чем лекции слушать). Если - с применениями - хорошо было бы разобрать решение какой-то интересной задачи, для которой теория Галуа органично необходима (в идеале - без нее вовсе обойтись нельзя).
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: savvateev
2013-11-18 04:01 pm (UTC)

Re: ну Вы уж меня совсем за идиота-то не считайте, ладно :-

Даже не знаю, что и сказать. Ну вот я сегодня
ходил в лес гулять - с какой целью? Не знаю.

И у лекций также :-))))). Прочитать, самому
заодно разобраться, - ну банальные вещи.

Или я не понял вопроса? Почему именно такой
подход? Потому что я хорошо знаю реалии Иркутска
и Матфака в нём - там нельзя прочесть что-то
абстрактное. Надо показать: вот многочлен,
его корни не выражаются, значит и общей
формулы быть не может. А что?
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: ddubnov
2013-11-16 09:47 pm (UTC)

ТЕОРИИ ГАЛУА И СИНТЕЗ БЫСТРЫХ АЛГОРИТМОВ ДИСКРЕТНЫХ К

Лёшка, смотри какое я нашёл применение теории Галуа. Может в этом разобраться?
http://dsp.tut.su/pdf/2011_dsp.pdf
(Reply) (Thread)
[User Picture]From: savvateev
2013-11-18 04:02 pm (UTC)

Re: ТЕОРИИ ГАЛУА И СИНТЕЗ БЫСТРЫХ АЛГОРИТМОВ ДИСКРЕТНЫ

А я не могу открыть ! Пришли на почту :-)))
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: savvateev
2014-01-07 09:25 am (UTC)

Re: ТЕОРИИ ГАЛУА И СИНТЕЗ БЫСТРЫХ АЛГОРИТМОВ ДИСКРЕТНЫ

Со временем разберусь !!! Я сохранил себе
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: gaz_v_pol
2013-11-23 07:16 am (UTC)
Может быть, тебе пригодится. Если комплексных корней не 2, а 4, картина меняется на противоположную. Число



является единственным действительным корнем многочлена



А ещё я формулы люблю с корнями придумывать. Вот последняя, попробуй-ка объяснить её с помощью теории Галуа :-)

(Reply) (Thread)