?

Log in

No account? Create an account
ВОПРОС К ДИФФУРЩИКАМ: - ЗА ВЕРУ, ЦАРЯ И ОТЕЧЕСТВО [entries|archive|friends|userinfo]
ЗА ВЕРУ, ЦАРЯ И ОТЕЧЕСТВО

[ website | Савватеев ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

ВОПРОС К ДИФФУРЩИКАМ: [Jan. 21st, 2009|07:20 am]
ЗА ВЕРУ, ЦАРЯ И ОТЕЧЕСТВО
Можно ли решить в явном виде следующее линейное однородное
уравнение второго порядка с экспоненциальными коэффициентами?

\dot\dot y = r \dot y + [ c_0 + c_1 \exp{at} +\dots+ c_4 \exp{dt} ] y

Будучи на одном дне рождения навеселе, я сдуру сказал, что оно
должно решаться методом вариации постоянных. Короче, сморозил
чушь. Кто-то ещё сказал что-то про функции Бесселя.

Ау, диффурщики и "динам-системщики"! Что скажете?

Гриша! Ты что-нибудь скажешь? Привет Канаде!
linkReply

Comments:
[User Picture]From: enisea
2009-01-21 06:21 am (UTC)
Если в скобках [ c_0 + c_1 \exp{at}] , то мапл выдаёт решение в функциях Бесселя (y(t) = exp((1/2) r t) (_C1 BesselJ(sqrt(r^2+4 c[0])/a, (2 I) sqrt(c[1]) exp((1/2) a t)/a)+_C2 BesselY(sqrt(r^2+4 c[0])/a, (2 I) sqrt(c[1]) exp((1/2) a t)/a))), а если и больше - не справляется.
(Reply) (Thread)
[User Picture]From: savvateev
2009-01-22 06:41 pm (UTC)

Спасибо, Алёна !

Видимо, ничего не решается. Так ему и скажу :-)))
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: motimatik
2009-01-22 02:44 am (UTC)

Канада привет получила!

методом вариации произвольных постоянных решаются (ищутся частные решения) уравнения с постоянными коэффициентами (а в правой части должен быть квазимногочлен)

динсистемщики, Лёша, это такие люди, которые знают, что не только ур.ч.п., но и д.у. обычно не решаются, поэтому они и не пытаются, а дают ответы на качественные, асимптотические вопросы

а вот некоторым иногда удаётся что-то конкретное решить, например, специальные функции (в т.ч. Бессель) - это круто, но совсем не ко мне))
(Reply) (Thread)
[User Picture]From: savvateev
2009-01-22 06:43 pm (UTC)

Re: Канада привет получила!

Ну да, про вариацию постоянных конечно, я просто спьяну ляпнул.

Видимо, не решается он, как и многие другие :-)))

Про динсистемщиков конечно ты прав :-))
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: yozhig
2009-01-22 09:59 pm (UTC)
Если применить лапласа, то получится:
F(s)*[s^2-rs-c0]-c1*F(s-a)-...-c4*F(s-d)=(s-r)*y(0-)+y'(0-)

т.е. после вычитания из некой функции F(s), помноженной на квадратный многочлен, четырех ее же "копий" со сдвигами на a..d должна получаться прямая.. Сдается мне, только бесселевы на такое способны, так что не без них точно.
(Reply) (Thread)
[User Picture]From: savvateev
2009-01-26 07:37 am (UTC)
Ага, спасибо! Видимо, проще ему это дело качественно поисследовать.
(Reply) (Parent) (Thread)
From: (Anonymous)
2009-01-28 08:56 am (UTC)
Если обозначить a_1=a, ..., a_4=d, то решение можно искать в виде ряда \sum_{k_1,..,k_4\geq 0}G_{k_1,..,k_4}\exp((k_1 a_1+..+k_4 a_4)t). Для коэффициентов G_{k_1,..,k_4} получается рекуррентное соотношение. Только оно хитрое, и явное выражение для G_{k_1,..,k_4} трудно найти при произвольных k_1,..,k_4 (если вообще возможно).
(Reply) (Thread)
[User Picture]From: rstepanov
2009-01-28 09:01 am (UTC)
Забыл представиться. :)
Только твой знакомый наверное уже перепробовал такие простые методы.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: savvateev
2009-01-28 09:52 am (UTC)

Привет, Рома !!

Не знаю! Может, и не успел! Я ему дам на этот
способ ссылку !
(Reply) (Parent) (Thread)