?

Log in

СПАСИБО ВСЕМ !!!! - ЗА ВЕРУ, ЦАРЯ И ОТЕЧЕСТВО [entries|archive|friends|userinfo]
ЗА ВЕРУ, ЦАРЯ И ОТЕЧЕСТВО

[ website | Савватеев ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

СПАСИБО ВСЕМ !!!! [Nov. 16th, 2007|11:48 am]
ЗА ВЕРУ, ЦАРЯ И ОТЕЧЕСТВО
Друзья, большое спасибо за помощь! На ремонт и
на жизнь, пока машина в ремонте, удалось собрать!
Может, ещё одежда будет нужна, но это я позже
опубликую, а денег больше не надо!

А ТЕПЕРЬ - ВОПРОС К МАТЕМАТИКАМ.

Известна ли кому-нибудь следующая теорема
(или, может, она неверна? - у меня чувство,
что это верный факт, из экономики он следует):

Рассмотрим выпуклый многогранник $D$ в $n$-мерном пространстве.
Если фигурами, равными ему, можно замостить всё пространство $R^n$,
то количество его $(n-1)$-граней не превосходит $(n+1)$-факториал.

Пример: если одинаковыми ВЫПУКЛЫМИ многоугольниками можно
замостить плоскость, то это - не более, чем шестиугольники.
(Это ведь верно?)
linkReply

Comments:
[User Picture]From: savvateev
2007-11-16 09:04 am (UTC)

На плоскости это верно!

Только что доказал эту оценку для $n=2$,
рассмотрев количество вершин $k$-ангуляции
на достаточно большом куске плоскости.

Может, и для произвольного $n$ такое прокатит?
(Reply) (Thread)
[User Picture]From: savvateev
2007-11-16 09:24 am (UTC)

Для доказательства в общем случае

требуются две вещи:

1. Формула для суммы "пространственных углов"
произвольного $n$-мерного многогранника с
$k$ вершинами (если вообще таковая существует,
в смысле, если $n,k$ задают сумму углов однозначно).

Пример: для симплекса ($n+1$ вершина) сумма углов
равна $1/[n-факториал]$; для параллелепипеда $2^n$
вершин) сумма углов равна $1$. Здесь единица измерения
- "полный раструб", т.е. на плоскости $1$=360 градусов.

2. Какие-то оценки, более точные, чем $(n+1)$, для
количества ОДИНАКОВЫХ ВЫПУКЛЫХ многогранников,
имеющих общую вершину.

Дайте хоть ссылку на соответствующую литературу,
кто знает - из какой это области?
(Reply) (Thread)
From: misha2
2007-11-16 10:07 am (UTC)

Re: Для доказательства в общем случае

Поскольку любой многогранник можно разбить на симплексы, то сумма углов кратна $1/[n-факториал]$. (Если твое утверждение верно для любого симплекса, а не только для правильного)
Теперь, поскольку любой многогранник можно непрерывно продеформировать в любой изоморфный ему (в комбинаторном смысе), и, как мы только что поняли, сумма углов принимает дискретные значения, то формула должна существовать, но ответ зависит не только от количества вершин, но и от количества граней всех размерностей.
(Reply) (Parent) (Thread)
From: (Anonymous)
2007-11-16 11:07 am (UTC)

Dlya (nepravil'nogo) simpleksa eto utverzhdenie (esli ya pravil'no pon'al, chto utverzhdaets'a) ne verno: esli u pravil'nogo simpleksa vz'at' odnu vershinu i unesti ee dostatochno daleko v napravlenii, parallel'nom protivopolozhnoi grani, to odin iz prostranstvennyh uglov budet pochti 180 gradusov.
(Reply) (Parent) (Thread)
From: misha2
2007-11-16 12:11 pm (UTC)
в 3хмерном пространстве мы получим цилиндр над правильным треугольником (произведение треугольника и луча). Угол треугольника равен 1/6 окружности, следовательно у цилиндра мы получим 1/6 от полусферы, то есть 1/12. Всего 3 угла. Таким образом мы получим 1/4. При том, что ожидали 1/6
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: savvateev
2007-11-16 04:23 pm (UTC)

Ага, правильно!

Более того, верхняя граница 1/2, если наоборот
устремить последнюю вершину В СТОРОНУ
дальней грани, почти до неё.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: savvateev
2007-11-16 04:23 pm (UTC)
А вот какова нижняя граница для тетраэдра -?
(Reply) (Parent) (Thread)
From: misha2
2007-11-16 09:39 pm (UTC)
Как ты считаешь сумму углов правильного симплекса?
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: savvateev
2007-11-19 10:18 am (UTC)

Я считаю "среднюю" сумму углов тетраэдра

- прямоугольный параллелепипед может быть
(вроде бы) разбит на (n!) симплексов.

А у параллелепипеда сумма углов равна 1.
(Reply) (Parent) (Thread)
From: misha2
2007-11-19 03:52 pm (UTC)

Re: Я считаю "среднюю" сумму углов тетраэдра

Я не знаю как ты разбиваешь, но скорее всего там добавятся лишние углы. Например, когда на плоскости ты берешь барицентрическое разбиение выпуклого многоугольника, то добавляешь лишний полный разворот вокруг центра.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: gaz_v_pol
2007-11-19 04:50 pm (UTC)
Предполагаю, что Леша имеет в виду такое разбиение. Возьмем n=3. Рассмотрим множество в пространстве: 0<x<y<z<1. Это пересечение четырех полупространств, причем ограниченное, т.е. тетраэдр. Аналогично 0<y<x<z<1 есть тетраэдр - равный первому. Возьмем все 6 возможных перестановок {x,y,z}. Объединение этих 6 тетраэдров есть куб с вершинами (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1), (1,1,1).
(Reply) (Parent) (Thread)
From: misha2
2007-11-19 04:58 pm (UTC)
То есть мы не добавили ни одной новой вершины. Я правильно понимаю?
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: gaz_v_pol
2007-11-19 05:40 pm (UTC)
Да, ни одной новой вершины нет.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: savvateev
2007-11-19 06:19 pm (UTC)

ОФФТОП

Серёга, я не понял, что-то торможу -
что это за картинка, которую ты мне
по СКАЙПу прислал?

Хочешь, по СКАЙПу же и ответь :-))))
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: savvateev
2007-11-19 06:18 pm (UTC)

Да-да, конечно надо за этим следить!

Чтоб новых вершин не появлялось!
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: mi_b
2007-11-16 09:47 am (UTC)
Леша, ну как такое может следовать из экономики, а? ;)
(Reply) (Thread)
[User Picture]From: savvateev
2007-11-16 04:24 pm (UTC)
Ха-ха, и теорема Ферма следует из экономики
- очевидным образом!
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: mi_b
2007-11-16 04:30 pm (UTC)
и где же вывод?
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: vdots
2007-11-16 11:47 am (UTC)
ты хочешь это доказать для произвольного выпуклого многогранника или всё-таки есть какие-то ограничения (типа того, что окрестность каждой вершины локально устроена как октант - на плоскости-то такое верно автоматически)? про такие больше известно и больше шансов - хотя может и вообще можно тоже
(Reply) (Thread)
[User Picture]From: savvateev
2007-11-16 04:25 pm (UTC)
Не знаю, мне на самом деле надо найти наиболее
близкое к шару тело, которым можно замостить
пространство. В каком конкретном смысле, пока неясно.

Наверное, я точную задачу тоже опубликую вскоре -
вдруг кому интересно порешать, или ответ известен?
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: vdots
2007-11-16 05:33 pm (UTC)
да, хорошо бы точную задачу :)
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: gaz_v_pol
2007-11-16 12:19 pm (UTC)
Леша, привет!

1. Для n=2 ты прав, выпуклыми равными семиугольниками заполнить плоскость нельзя. У этой задачи есть немало неверных решений, вместо равенства использующих только ограниченность размеров всех семиугольников (в такой ослабленной формулировке утверждение неверно). Условие равенства можно ослабить так - если плоскость заполнена выпуклыми семиугольниками, то либо для любого ε>0 найдется семиугольник, умещающийся в круге радиуса ε, либо для сколь угодно большого Ε найдется семиугольник, содержащий в себе круг радиуса Ε.

2. Для каждого n>2 существование лимита сверху на число (n-1)-мерных граней в многограннике, замощающем все пространтство, есть открытая проблема. В частности, при n=3 наилучший известный результат есть выпуклый 38-гранник, которым можно замостить все пространство. Пример описал P.Engel в 1980 году в работе [1] (на немецком языке). По английски подробности описал Grünbaum в [2].


[1] P. Engel "Ueber Wirkungsbereichsteilungen mit kubischer Symmetrie, Zeitschr. Kristallographie", 1980
[2] http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.bams/1183547682
(Reply) (Thread)
[User Picture]From: savvateev
2007-11-16 04:27 pm (UTC)

Спасибо, Серёга !

Очень много интересного нашлось в ссылках к нему!
В 2005-м целая глава в книге этому посвящена

Tiling problems. Brass, Moser, Pach

- буду доставать и изучать!
(Reply) (Parent) (Thread)