Представим, я пришел на курс (по своему нынешнему состоянию мозгов, увы, близок). И у меня на первом предложении затык:

=== 1. Если формулу для решения, хотя бы одного, написать можно
(с использованием пяти операций арифметики) ===

"Для решения, хотя бы одного" - в каком поле? действительных чисел? (Там ведь у этого многочлена есть корень.) Или того самого, которое получится конечным циклическим расширением?

=== то есть, вместе с любым решением любого полиномиального уравнения содержит и все остальные его решения ===

2. Мммм, а если я беру многочлен (x^2 + 1)*P(x) то, согласно этому утверждению, он вместе с корнем i должен содержать все корни многочлена P(x).
Готов в это поверить :), но откуда это следует в твоей последовательности тезисов?

3. Допустим.

4. Да, затык...

=== 1.

Я специально выше написал: "Все ниже приведённые мысли и выкладки
происходят в поле алгебраических чисел." В смысле, в поле, полученном
из рациональных чисел путём присоединения всех решений всех
уравнений с целыми коэффициентами. Там и ищем :-))). Суть-то
именно в том, что в циклических башнях, вообще говоря, решение
не найти, поэтому и формулы нет :-)))

=== 2.

Вот тут мне самому надо немного почитать алгебру до начала курса :-)).
Что в точности имеется в виду под нормальным расширением. Может,
кто из читателей напомнит :-)). Потому что ключевой шаг - если башня
циклических расширений содержит одно решение, то она содержит и
все остальные решения рассматриваемого уравнения (это надо доказать,
и я пока не знаю, как это сделать). Наверное, это что-то элементарное.

Спасибо огромное за комментарии !!!!!

1. Спасибо, здесь ты прав.

2. Наверное, речь в данном случае идет лишь об уравнениях вида P(x)=0, где P не разлагаем на множители с коэффициентами в исходном поле.
Это первое, что на ум приходит.

Нормальное расширение - это которое содержит, вместе с
одним решением НЕПРИВОДИМОГО уравнения, все остальные.
То, которое ты написал, разлагается на множители :-))))) !

Ну да, считаем, я тоже туда же пошел, с тем же эффектом. :)

Именно :-))))) !

Жаль, алгебраисты меня игнорируют !!! Не дают советов,
не критикуют ! Как ерунду всякую писать по политическим
и социальным вопросам, так все горазды - а как Алексея
Владимировича уму-разуму в математике научить - так
сразу в кусты :-))))))))) ! Позор, позор всем !!!!!

4. === Тогда как бы это поле тоже должно быть башней циклических
расширений, что ли. ===

Так у тебя, если я правильно понимаю, число необходимых расширений для этого многочлена будет конечно. Это мы с тобой по функанской привычке в бесконечность башню выращиваем, что вовсе не обязательно.

Короче, как у Лазарчука - "профан строит башню, посвященный кладет мозаику". :)

Дальше мне трудно, потому как работы много, это во-первых. Во-вторых, мне даже что такое "разрешимая группа", надо вспоминать.

Конечное, конечно :-)). Но это всё равно вызывает вопросы.
Я тут заглянул в Чеботарёва - оказывается, это не у меня одного
затык. тот же затык был у Руффини, а Абель его снял :-)))) !
Постепенно всё проясняется.

Рассуждение заведомо неверно, потому, что оно вообще никаких свойств исходного многочлена не использует, кроме неприводимости.

А неприводимость - это очень мало, чтобы обеспечить неразрешимость в радикалах.

Например, берем любое алгебраическое число 5-й степени, представимое в радикалах, находим его минимальный многочлен - он будет неприводим, но уравнение - разрешимо в радикалах.

Почитать - Прасолова, например (в его ЖЖ выложен большой список литературы). А вот стоит ли читать после прочтения лекции - сами думайте.

Да и не для того теория Галуа, чтобы уравнения в радикалах решать.

Еще используется, что ровно 3 вещественных корня, а два комплексных.

Привет, Федя !!!!! А ты заметил какие-нибудь существенные огрехи?
Помимо тех пресловутых корней из единицы в нижнем этаже, о
которых мне уже по электронной почте написали :-)))) !

Как же не используется, когда именно на основании наличия
трёх вещественных корней и двух комплексных делается вывод
о том, что комплексное сопряжение - которое в данном случае
перестановка двух корней местами, не трогая остальных трёх! -
один из автоморфизмов группы Галуа. Дальше по тексту того,
что написано мною выше - неприводимость гарантирует
транзитивность, наличие одной транспозиции - всё остальное.
Другое дело, что деталей я не проверял пока. Лучше скажите,
есть ли более тонкие пробелы, которые я не заметил (на самом
деле мне друг из Израиля уже указал на некоторые очевидные;
они связаны с наличием корней из единицы в нижнем этаже.
Это я уже осознал. Есть ли ещё какие-нибудь? Пишите тогда!).

По поводу 3+2 согласен.
И уж точно не держу Вас за идиота.

Но какая основная цель лекции или курса лекций - непонятно?

Если - предъявить многочлен с полной группой Галуа - это совсем не сложно и много где делается.

Если - научить руками считать группы Галуа - то зачем? Несколько алгоритмов общеизвестны, да и никто никогда руками не считает - кроме как в учебных задачках.

Если - разобраться с теорией Галуа, то тут, наверное, лучше книжки читать (чем лекции слушать). Если - с применениями - хорошо было бы разобрать решение какой-то интересной задачи, для которой теория Галуа органично необходима (в идеале - без нее вовсе обойтись нельзя).

Даже не знаю, что и сказать. Ну вот я сегодня
ходил в лес гулять - с какой целью? Не знаю.

И у лекций также :-))))). Прочитать, самому
заодно разобраться, - ну банальные вещи.

Или я не понял вопроса? Почему именно такой
подход? Потому что я хорошо знаю реалии Иркутска
и Матфака в нём - там нельзя прочесть что-то
абстрактное. Надо показать: вот многочлен,
его корни не выражаются, значит и общей
формулы быть не может. А что?

Лёшка, смотри какое я нашёл применение теории Галуа. Может в этом разобраться?
http://dsp.tut.su/pdf/2011_dsp.pdf

А я не могу открыть ! Пришли на почту :-)))

Со временем разберусь !!! Я сохранил себе

Может быть, тебе пригодится. Если комплексных корней не 2, а 4, картина меняется на противоположную. Число



является единственным действительным корнем многочлена



А ещё я формулы люблю с корнями придумывать. Вот последняя, попробуй-ка объяснить её с помощью теории Галуа :-)