Comments: |
Представим, я пришел на курс (по своему нынешнему состоянию мозгов, увы, близок). И у меня на первом предложении затык:
=== 1. Если формулу для решения, хотя бы одного, написать можно (с использованием пяти операций арифметики) ===
"Для решения, хотя бы одного" - в каком поле? действительных чисел? (Там ведь у этого многочлена есть корень.) Или того самого, которое получится конечным циклическим расширением?
=== то есть, вместе с любым решением любого полиномиального уравнения содержит и все остальные его решения ===
2. Мммм, а если я беру многочлен (x^2 + 1)*P(x) то, согласно этому утверждению, он вместе с корнем i должен содержать все корни многочлена P(x). Готов в это поверить :), но откуда это следует в твоей последовательности тезисов?
3. Допустим.
4. Да, затык...
![[User Picture]](https://l-userpic.livejournal.com/124836455/10471086) | From: savvateev 2013-11-13 12:37 am (UTC)
Привет, дружище !!! | (Link)
|
=== 1.
Я специально выше написал: "Все ниже приведённые мысли и выкладки происходят в поле алгебраических чисел." В смысле, в поле, полученном из рациональных чисел путём присоединения всех решений всех уравнений с целыми коэффициентами. Там и ищем :-))). Суть-то именно в том, что в циклических башнях, вообще говоря, решение не найти, поэтому и формулы нет :-)))
=== 2.
Вот тут мне самому надо немного почитать алгебру до начала курса :-)). Что в точности имеется в виду под нормальным расширением. Может, кто из читателей напомнит :-)). Потому что ключевой шаг - если башня циклических расширений содержит одно решение, то она содержит и все остальные решения рассматриваемого уравнения (это надо доказать, и я пока не знаю, как это сделать). Наверное, это что-то элементарное.
Спасибо огромное за комментарии !!!!!
1. Спасибо, здесь ты прав.
2. Наверное, речь в данном случае идет лишь об уравнениях вида P(x)=0, где P не разлагаем на множители с коэффициентами в исходном поле. Это первое, что на ум приходит.
![[User Picture]](https://l-userpic.livejournal.com/124836455/10471086) | From: savvateev 2013-11-13 12:41 am (UTC)
....пошёл посрать, вернулся и понял: | (Link)
|
Нормальное расширение - это которое содержит, вместе с одним решением НЕПРИВОДИМОГО уравнения, все остальные. То, которое ты написал, разлагается на множители :-))))) !
Ну да, считаем, я тоже туда же пошел, с тем же эффектом. :)
Именно :-))))) !
Жаль, алгебраисты меня игнорируют !!! Не дают советов, не критикуют ! Как ерунду всякую писать по политическим и социальным вопросам, так все горазды - а как Алексея Владимировича уму-разуму в математике научить - так сразу в кусты :-))))))))) ! Позор, позор всем !!!!!
4. === Тогда как бы это поле тоже должно быть башней циклических расширений, что ли. ===
Так у тебя, если я правильно понимаю, число необходимых расширений для этого многочлена будет конечно. Это мы с тобой по функанской привычке в бесконечность башню выращиваем, что вовсе не обязательно.
Короче, как у Лазарчука - "профан строит башню, посвященный кладет мозаику". :)
Дальше мне трудно, потому как работы много, это во-первых. Во-вторых, мне даже что такое "разрешимая группа", надо вспоминать.
Конечное, конечно :-)). Но это всё равно вызывает вопросы. Я тут заглянул в Чеботарёва - оказывается, это не у меня одного затык. тот же затык был у Руффини, а Абель его снял :-)))) ! Постепенно всё проясняется.
Рассуждение заведомо неверно, потому, что оно вообще никаких свойств исходного многочлена не использует, кроме неприводимости.
А неприводимость - это очень мало, чтобы обеспечить неразрешимость в радикалах.
Например, берем любое алгебраическое число 5-й степени, представимое в радикалах, находим его минимальный многочлен - он будет неприводим, но уравнение - разрешимо в радикалах.
Почитать - Прасолова, например (в его ЖЖ выложен большой список литературы). А вот стоит ли читать после прочтения лекции - сами думайте.
Да и не для того теория Галуа, чтобы уравнения в радикалах решать.
![[User Picture]](https://l-userpic.livejournal.com/32799672/7831638) | From: rus4 2013-11-14 11:06 pm (UTC)
| (Link)
|
Еще используется, что ровно 3 вещественных корня, а два комплексных.
Привет, Федя !!!!! А ты заметил какие-нибудь существенные огрехи? Помимо тех пресловутых корней из единицы в нижнем этаже, о которых мне уже по электронной почте написали :-)))) !
![[User Picture]](https://l-userpic.livejournal.com/124836455/10471086) | From: savvateev 2013-11-15 01:51 am (UTC)
ну Вы уж меня совсем за идиота-то не считайте, ладно :-))? | (Link)
|
Как же не используется, когда именно на основании наличия трёх вещественных корней и двух комплексных делается вывод о том, что комплексное сопряжение - которое в данном случае перестановка двух корней местами, не трогая остальных трёх! - один из автоморфизмов группы Галуа. Дальше по тексту того, что написано мною выше - неприводимость гарантирует транзитивность, наличие одной транспозиции - всё остальное. Другое дело, что деталей я не проверял пока. Лучше скажите, есть ли более тонкие пробелы, которые я не заметил (на самом деле мне друг из Израиля уже указал на некоторые очевидные; они связаны с наличием корней из единицы в нижнем этаже. Это я уже осознал. Есть ли ещё какие-нибудь? Пишите тогда!).
From: ald1976 2013-11-15 08:31 pm (UTC)
Re: ну Вы уж меня совсем за идиота-то не считайте, ладно :- | (Link)
|
По поводу 3+2 согласен. И уж точно не держу Вас за идиота.
Но какая основная цель лекции или курса лекций - непонятно?
Если - предъявить многочлен с полной группой Галуа - это совсем не сложно и много где делается.
Если - научить руками считать группы Галуа - то зачем? Несколько алгоритмов общеизвестны, да и никто никогда руками не считает - кроме как в учебных задачках.
Если - разобраться с теорией Галуа, то тут, наверное, лучше книжки читать (чем лекции слушать). Если - с применениями - хорошо было бы разобрать решение какой-то интересной задачи, для которой теория Галуа органично необходима (в идеале - без нее вовсе обойтись нельзя).
![[User Picture]](https://l-userpic.livejournal.com/124836455/10471086) | From: savvateev 2013-11-18 04:01 pm (UTC)
Re: ну Вы уж меня совсем за идиота-то не считайте, ладно :- | (Link)
|
Даже не знаю, что и сказать. Ну вот я сегодня ходил в лес гулять - с какой целью? Не знаю.
И у лекций также :-))))). Прочитать, самому заодно разобраться, - ну банальные вещи.
Или я не понял вопроса? Почему именно такой подход? Потому что я хорошо знаю реалии Иркутска и Матфака в нём - там нельзя прочесть что-то абстрактное. Надо показать: вот многочлен, его корни не выражаются, значит и общей формулы быть не может. А что?
![[User Picture]](https://l-userpic.livejournal.com/105972136/13818917) | From: ddubnov 2013-11-16 09:47 pm (UTC)
ТЕОРИИ ГАЛУА И СИНТЕЗ БЫСТРЫХ АЛГОРИТМОВ ДИСКРЕТНЫХ К | (Link)
|
![[User Picture]](https://l-userpic.livejournal.com/124836455/10471086) | From: savvateev 2013-11-18 04:02 pm (UTC)
Re: ТЕОРИИ ГАЛУА И СИНТЕЗ БЫСТРЫХ АЛГОРИТМОВ ДИСКРЕТНЫ | (Link)
|
А я не могу открыть ! Пришли на почту :-)))
![[User Picture]](https://l-userpic.livejournal.com/124836455/10471086) | From: savvateev 2014-01-07 09:25 am (UTC)
Re: ТЕОРИИ ГАЛУА И СИНТЕЗ БЫСТРЫХ АЛГОРИТМОВ ДИСКРЕТНЫ | (Link)
|
Со временем разберусь !!! Я сохранил себе
Может быть, тебе пригодится. Если комплексных корней не 2, а 4, картина меняется на противоположную. Число  является единственным действительным корнем многочлена  А ещё я формулы люблю с корнями придумывать. Вот последняя, попробуй-ка объяснить её с помощью теории Галуа :-)  | |