?

Log in

No account? Create an account
МАТЕМАТИКАМ, ПРИЧЁМ ВПЛОТЬ ДО ЛЮБИТЕЛЕЙ - ЗА ВЕРУ, ЦАРЯ И ОТЕЧЕСТВО [entries|archive|friends|userinfo]
ЗА ВЕРУ, ЦАРЯ И ОТЕЧЕСТВО

[ website | Савватеев ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

МАТЕМАТИКАМ, ПРИЧЁМ ВПЛОТЬ ДО ЛЮБИТЕЛЕЙ [Oct. 27th, 2014|10:10 am]
ЗА ВЕРУ, ЦАРЯ И ОТЕЧЕСТВО
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ТЕОРЕМЫ БРАУЭРА И НЕСТЯГИВАЕМОСТИ СФЕР

Пояснение. Я никогда не мог преодолеть барьер между, казалось бы,
всесторонним пониманием концепции непрерывности (в том числе всей
эпсилон-дельта механики) и полным непониманием азов топологии.

В самом деле, с чего начинаются стандартные учебники высокой науки?
С того, что тор явно негомеоморфен сфере. Как узреть эту очевидность?

Нужно, например, нарисовать на торе опоясывающую окружность, которая,
"очевидно", не стягивается в точку. Опять это "очевидно". Для гуманитариев,
наверное, "визуальная очевидность" достаточна. Но неужели такое простое
утверждение не выводится по-человечески из эпсилон-дельта языка?

В учебниках, которые я читал, я не нашёл соответствующего сведения.

Возможно, я плохо искал. Там сразу начинаются всяческие накрытыя,
которые сами по себе становятся "очевидными" лишь после практики
работы с ними (и опять же, моста между "школьной" непрерывностью
и высоконаучной непрерывностью никогда нет).

При этом неэквивалентность тора и сферы отлично демонстрируется
инвариантом Эйлера В-Р+Г; для данной конкретной задачи подобного
рассмотрения вполне достаточно, однако вопрос о нестягиваемости
опоясывающей окружности на торе уже не даёт покоя сам по себе.

Понятно, что, проектируя тор на соответствующую окружность, вопрос
этот сводится к вопросу о стягиваемости самой обычной окружности!

И только сейчас, готовясь к лекциям по неевклидовой геометрии в ИГУ я,
как мне кажется, снял этот барьер. Более того, я уже слышал от кого-то,
что теорема Брауэра эквивалентна утверждению о нетривиальности n-й
гомотопической группы сферы, но раньше об этом не задумывался.

Теорема Брауэра сама по себе отлично доказывается школьным языком
с привлечением одной из красивейших на свете лемм, леммы Шпернера.
Поэтому "фундаментальное" утверждение топологии (я это ниже назвал
"Основной теоремой топологии") таки полностью выводится из аксиом.

Кроме того, для случая фундаментальной группы я придумал ещё одно,
вроде бы, полностью школьное доказательство на языке эпсилон-дельта.
Наверное, и его можно довести до ума в произвольной размерности.

Ниже будет вкратце описана соответствующая конструкция. Сперва
мы будем предполагать верной теорему Брауэра (это сложнее).

ПОСТРОЕНИЕ НОРМИРОВАННОГО НЕНУЛЕВОГО
ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ НА n-МЕРНОМ ШАРЕ

Итак, пускай имеется непрерывное стягивание (n-1)-мерной сферы,
то есть непрерывное отображение $T: S^{n-1} \times [0,1] \to S^{n-1}$
такое, что ограничение на левую границу тождественно, а на правую
границу~--- тривиально. Разобьём теперь $n$-шар на вложенные сферы
убывающих радиусов, вплоть до точки $0$ как вырожденной сферы.
И в каждой точке нарисуем вектор длины 1, получающийся простым
переворачиванием значения вектора в соответствующей точке того
цилиндра, на котором определено отображение $T$.

Чудо состоит в том, что получилось непрерывное поле (так вышло
из-за тривиальности самого последнего среза отображения)! Кроме
того, из-за переворачивания все векторы на граничной сфере торчат
прямо в центр (первый срез - тождественный же!). Дальше уже ясно:
из-за равномерной непрерывности и компактности внешней сферы
можно выбрать такую её окрестность, что все векторы будут торчать
внутрь шарика со вдвое меньшим радиусом, то есть "заведомо внутрь".
Обозначим ширину этой "прибрежной полосы" за $\gamma$.

Дальше как по маслу: "движемся" на расстояние $\gamma$ по каждому
из векторов, и всегда оказываемся внутри шара! То есть налицо есть
непрерывное отображение шара в себя без неподвижных точек !!!!!!!

Продолжение следует (про непосредственное доказательство для
фундаментальной группы, с помощью понятия "дискретного индекса
оборота векторного поля"). Пока зацените, всё ли верно?
linkReply

Comments:
[User Picture]From: akhrabrov
2014-10-27 09:38 am (UTC)
Я не понял фразы
И в каждой точке нарисуем вектор длины 1, получающийся простым переворачиванием значения вектора в соответствующей точке того цилиндра, на котором определено отображение $T$.
(Reply) (Thread)
[User Picture]From: savvateev
2014-10-28 02:40 am (UTC)
Берём цилиндр, на котором определено $T$.
Каждому его срезу сопоставляем сферу шара
соответствующего радиуса, а в конце - точку.

На внешней сфере отображение $T$ - это
тождественное, то есть если векторы на
сфере нарисовать, они как ёжик торчат
во все стороны. Я их переворачиваю, а
для непрерывности переворачиваю и
все остальные. (Прости за сумбур!!)
(Reply) (Parent) (Thread) (Expand)
[User Picture]From: polytheme
2014-10-27 10:10 am (UTC)
нестягиваемость окружности на торе "на пальцах" следует из "двойственности Пуанкаре": индекс пересечения с перпендикулярной окружностью равен 1. чтобы это сделать строго на школьном уровне, нужно сказать, что можно заменить стягивание на кусочно-линейное, так как окружность компактна, а для ломаных определить индекс пересечения, даже когда они касаются, и доказать, что он не меняется при деформации, уже просто.
(Reply) (Thread)
[User Picture]From: polytheme
2014-10-27 10:14 am (UTC)

P.S.

число вращения отображения окружности в себя для ломаной определить, кстати, тоже просто
(Reply) (Parent) (Thread) (Expand)
[User Picture]From: savvateev
2014-10-28 02:42 am (UTC)
А как обосновать замену стягивания на
кусочно-линейное? Я что-то не врублюсь.
(Reply) (Parent) (Thread) (Expand)
[User Picture]From: edd_l
2014-10-27 11:15 am (UTC)
Леш, чуть в сторону, но на близкую тему. Не знаешь ли критерия что (какие графы) можно нарисовать на торе? Для сферы по школьной теореме П-К граф неукладываем iff в нем есть часть, гомеоморфная либо $К_5$ (полному графу на 5 вершинах), либо $К_{3,3}$ (часть гомеоморфная головоломке о тропинках из 3х домов к 3м колодцам). Я слышал, что для тора доказано существование конечного числа таких исключений. Не знаешь ничего об этом?
(Reply) (Thread)
[User Picture]From: akhrabrov
2014-10-27 01:36 pm (UTC)
Есть три человека, которые активно занимаются вложением графов в разные поверхности: Dan Archdeacon (в одиночку), а также Neil Robertson и Paul Seymour (совместно). У первого был относительно свежий обзор на эту тему, но я не помню никаких подробностей и даже было ли там что-нибудь про тор.
(Reply) (Parent) (Thread) (Expand)
From: vsvor
2014-10-27 04:50 pm (UTC)
Вроде пишут, что набор запрещенных подграфов (вернее, миноров) известен только для обычной плоскости и для проективной плоскости (то ли 35, то ли 103, - видимо, в зависимости от определения).

http://www.fmf.uni-lj.si/~mohar/Reprints/2007/BM07_GC23_Kawarabayashi_GraphMinorTheory.pdf

Для прочих поверхностей доказано существование конечного набора. Ссылки на оригинальные статьи там приведены, а есть ли что-то более удобоваримое - понятия не имею.


Edited at 2014-10-27 04:55 pm (UTC)
(Reply) (Parent) (Thread) (Expand)
[User Picture]From: whiteferz
2014-10-27 06:30 pm (UTC)
Я ни капельки не тополог, поэтому для меня семь вёрст не крюк.

=== Нужно, например, нарисовать на торе опоясывающую окружность, которая, "очевидно", не стягивается в точку. Опять это "очевидно". Для гуманитариев, наверное, "визуальная очевидность" достаточна. Но неужели такое простое утверждение не выводится по-человечески из эпсилон-дельта языка? ===

Не вижу проблем с "наглядной демонстрацией". Нестягиваемость в точку окружности, опоясывающей "дырку от бублика" доказывается от противного. Допустим, стягивается. Рассмотрим эту процедуру в непрерывной проекции тора на плоскость, а затем полярной проекции на саму стягиваемую окружность. Таким образом, нестягиваемость соответствующей окружности в точку эквивалентна нестягиваемости её в самой себе (последнее доказывать довольно просто).

Что же до стягиваемости любой окружности на сфере в точку, тут, имхо, не сложно. Берём любую точку не на стягиваемой окружности, берём её эпсилон-окрестность, не пересекающую стягиваемую окружность, обзовём эту окресность P.

Дальше равномерно и непрерывно надуваем P "по сфере" из её центра до заполнения "всей сферы минус точка полярная центру", а дополнение P сдуваем в точку, полярную центру.

Поскольку стягиваемая окружность находится в дополнении P, она сдуется в точку, полярную центру P.

Как-то так.

Бейте меня ногами, если соврал. Почти наверняка у моего лучшего друга Полифема гораздо проще.

Edited at 2014-10-27 06:32 pm (UTC)
(Reply) (Thread)
[User Picture]From: savvateev
2014-10-28 02:44 am (UTC)
Бью, ибо ты соврал:

"Таким образом, нестягиваемость
соответствующей окружности в точку
эквивалентна нестягиваемости её в
самой себе (последнее доказывать
довольно просто)."

Вперёд, доказывай :-))))
Весь мой пост - именно об этом :-)))))
(Reply) (Parent) (Thread) (Expand)
[User Picture]From: polytheme
2014-10-28 07:36 am (UTC)
> Берём любую точку не на стягиваемой окружности
единственная проблема в том, что её может не быть
(Reply) (Parent) (Thread) (Expand)
[User Picture]From: polytheme
2014-10-28 04:18 pm (UTC)
кстати, комментирую твой журнал через Штаты - провайдер твою страничку (и некоторые другие) в жж почему-то забанил :)
(Reply) (Thread)
[User Picture]From: savvateev
2014-10-29 03:25 am (UTC)
Серьёзно???? АААА !!!! Русофобы !!! Кругом
пятая колонна !!!! Главного мыслителя на Руси
забанили, пиздец !!!!! Я требую суда - причём
сразу Страшного !!!!!
(Reply) (Parent) (Thread) (Expand)
(Deleted comment)
[User Picture]From: savvateev
2014-10-29 03:26 am (UTC)
нет, ну ведь на любой сфере строится
поле в нормальном расслоении, поэтому
доказательство проходит при любом n
(Reply) (Parent) (Thread)