October 27th, 2014

МАТЕМАТИКАМ, ПРИЧЁМ ВПЛОТЬ ДО ЛЮБИТЕЛЕЙ

ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ТЕОРЕМЫ БРАУЭРА И НЕСТЯГИВАЕМОСТИ СФЕР

Пояснение. Я никогда не мог преодолеть барьер между, казалось бы,
всесторонним пониманием концепции непрерывности (в том числе всей
эпсилон-дельта механики) и полным непониманием азов топологии.

В самом деле, с чего начинаются стандартные учебники высокой науки?
С того, что тор явно негомеоморфен сфере. Как узреть эту очевидность?

Нужно, например, нарисовать на торе опоясывающую окружность, которая,
"очевидно", не стягивается в точку. Опять это "очевидно". Для гуманитариев,
наверное, "визуальная очевидность" достаточна. Но неужели такое простое
утверждение не выводится по-человечески из эпсилон-дельта языка?

В учебниках, которые я читал, я не нашёл соответствующего сведения.

Возможно, я плохо искал. Там сразу начинаются всяческие накрытыя,
которые сами по себе становятся "очевидными" лишь после практики
работы с ними (и опять же, моста между "школьной" непрерывностью
и высоконаучной непрерывностью никогда нет).

При этом неэквивалентность тора и сферы отлично демонстрируется
инвариантом Эйлера В-Р+Г; для данной конкретной задачи подобного
рассмотрения вполне достаточно, однако вопрос о нестягиваемости
опоясывающей окружности на торе уже не даёт покоя сам по себе.

Понятно, что, проектируя тор на соответствующую окружность, вопрос
этот сводится к вопросу о стягиваемости самой обычной окружности!

И только сейчас, готовясь к лекциям по неевклидовой геометрии в ИГУ я,
как мне кажется, снял этот барьер. Более того, я уже слышал от кого-то,
что теорема Брауэра эквивалентна утверждению о нетривиальности n-й
гомотопической группы сферы, но раньше об этом не задумывался.

Теорема Брауэра сама по себе отлично доказывается школьным языком
с привлечением одной из красивейших на свете лемм, леммы Шпернера.
Поэтому "фундаментальное" утверждение топологии (я это ниже назвал
"Основной теоремой топологии") таки полностью выводится из аксиом.

Кроме того, для случая фундаментальной группы я придумал ещё одно,
вроде бы, полностью школьное доказательство на языке эпсилон-дельта.
Наверное, и его можно довести до ума в произвольной размерности.

Ниже будет вкратце описана соответствующая конструкция. Сперва
мы будем предполагать верной теорему Брауэра (это сложнее).

ПОСТРОЕНИЕ НОРМИРОВАННОГО НЕНУЛЕВОГО
ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ НА n-МЕРНОМ ШАРЕ

Итак, пускай имеется непрерывное стягивание (n-1)-мерной сферы,
то есть непрерывное отображение $T: S^{n-1} \times [0,1] \to S^{n-1}$
такое, что ограничение на левую границу тождественно, а на правую
границу~--- тривиально. Разобьём теперь $n$-шар на вложенные сферы
убывающих радиусов, вплоть до точки $0$ как вырожденной сферы.
И в каждой точке нарисуем вектор длины 1, получающийся простым
переворачиванием значения вектора в соответствующей точке того
цилиндра, на котором определено отображение $T$.

Чудо состоит в том, что получилось непрерывное поле (так вышло
из-за тривиальности самого последнего среза отображения)! Кроме
того, из-за переворачивания все векторы на граничной сфере торчат
прямо в центр (первый срез - тождественный же!). Дальше уже ясно:
из-за равномерной непрерывности и компактности внешней сферы
можно выбрать такую её окрестность, что все векторы будут торчать
внутрь шарика со вдвое меньшим радиусом, то есть "заведомо внутрь".
Обозначим ширину этой "прибрежной полосы" за $\gamma$.

Дальше как по маслу: "движемся" на расстояние $\gamma$ по каждому
из векторов, и всегда оказываемся внутри шара! То есть налицо есть
непрерывное отображение шара в себя без неподвижных точек !!!!!!!

Продолжение следует (про непосредственное доказательство для
фундаментальной группы, с помощью понятия "дискретного индекса
оборота векторного поля"). Пока зацените, всё ли верно?