?

Log in

No account? Create an account
МОСКВА И ДОКЛАД В СУНЦЕ !!!! - ЗА ВЕРУ, ЦАРЯ И ОТЕЧЕСТВО [entries|archive|friends|userinfo]
ЗА ВЕРУ, ЦАРЯ И ОТЕЧЕСТВО

[ website | Савватеев ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

МОСКВА И ДОКЛАД В СУНЦЕ !!!! [Apr. 11th, 2016|01:43 pm]
ЗА ВЕРУ, ЦАРЯ И ОТЕЧЕСТВО
Друзья !!

Мы в Москве. Обживаем квартиру на Комсомольском проспекте,
которую снял для нас Миша Поваляев. Вчера гуляли со всеми
четырьмя деточками по Воробьёвы Горам - лепота, лепота !!!

На днях я в Нижний с докладами и рассказом про УДП, а после
возвращения, сразу в тот же день - 14 апреля, в четверг! - мой
доклад в Колмогоовском интернате на тему: "Замощения плоскости
и сферы". Приходите все и приводите друзей !!!! Начало в 17:00.

Серёга Маркелов будет суфлировать :-))), если буду врать :-)))!
Надеюсь, будет очень увлекательно !!!!!!!!!!!
linkReply

Comments:
[User Picture]From: gaz_v_pol
2016-04-13 09:48 am (UTC)
Если ты ищешь кого-то для цели "поймать тебя на вранье" -- позови Сеню Акопяна, человек и компетентный и (для этой задачи) мотивированный.
(Reply) (Thread)
[User Picture]From: savvateev
2016-04-14 05:21 am (UTC)
Я буду очень рад, если он придёт - но он,
как я понимаю, меня считает мудаком и
шарлатаном, так что даже не знаю, как
в этих условиях его позвать :-)))))!

Может, ты его приведёшь - вы же друзья?
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: polytheme
2016-04-20 02:15 pm (UTC)
вот, кстати, подумал, очень твой вопрос у меня возник.

известно полно эквивалентов 5 постулата (сумма углов треугольника 180, эквидистанты прямые, существует прямоугольник и т.п.) - а знаешь ли ты примеры (геометрически осмысленных) утверждений, которые

а) строго слабее его - т.е. которые доказуемы на евклидовой плоскости и недоказуемы на гиперболической (понятно, что если они неверны на гиперболической, то они логически эквивалентны 5 постулату)

б) наоборот доказуемы на гиперболической плоскости и недоказуемы на евклидовой

или это тоже невозможно (по ускользнувшей от меня причине) ?

Edited at 2016-04-20 02:52 pm (UTC)
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: gaz_v_pol
2016-04-20 05:49 pm (UTC)
Вообще, по математической логике я не специалист, тут надо спрашивать уважаемого a_shen, но попробую свое понимание написать и я. Во-первых, не уверен, что правильно понял, что ты хочешь. Например, подойдет ли тебе такой пример утверждения: "для любой пары простых чисел-близнецов p и p+2 найдется треугольник площади p".

Если простых чисел-близнецов бесконечно много, это утверждение равносильно тому, что существует треугольник сколь угодно большой площади, а это равносильно 5 постулату (известная теорема).

Если простых чисел-близнецов конечное число, то это утверждение выполняется и на плоскости Евклида, и на плоскости Лобачевского.

Но вопрос о том, конечно или бесконечно множество простых чисел-близнецов, открыт уже не одну сотню лет (ссылка).

Возможно, именно эта задача не подходит, т.к. ты можешь верить, что рано или поздно в этот вопрос будет внесена определенность. Но можно выбрать какой-то иной вопрос. Например, есть теорема Гудстейна, которая верна, но недоказуем в системе аксиом Пеано (это доказано). Если тебе неохота разбираться по ссылке, объясню вкратце: Гудстейн указал некоторый алгоритм (сложный, но совершенно явный), который позволяет строить, начиная с любого натурального числа, последовательность (каждое следующее число можно получить за конечное время из предыдущего). Теорема Гудстейна состоит в том, что какое начальное число ни возьми, все равно рано или поздно придем в 0.

Возьмем следующее утверждение: "для любого числа A, для которого последовательность Гудстейна, начинающаяся с этого числа, не содержит 0, существует треугольник площади A". Это тебе подойдет?

Если и это не подходит, поскольку про теорему Гудстейна хотя бы известно, что она верна (это доказано в рамках более сильной системы аксиом), то можно взять утверждения, которые и в рамках этих более сильных систем аксиом недоказуемы (примеры).

В конце концов, возьмем следующее: после того, как Юрий Матиясевич решил 10-ую проблему Гильберта, с помощью его метода было доказано, что почти любое (в достаточно широком смысле) утверждение можно закодировать диофантовым уравнением, т.е. привести такой многочлен от нескольких переменных, что у него существует решение в целых числах тогда, и только тогда, когда утверждение верно. В частности, утверждение о непротиворечивости математики (формализованной одной из известных система аксиом) может быть так закодировано (ссылка), т.е. есть совершенно конкретный многочлен от 9 переменных, у которого есть решение в целых числах тогда, и только тогда, когда система аксиом ZFC противоречива.

Возьмем утверждение: "для любого решения этого уравнения в целых числах существует треугольник площади, равной сумме x1+x2+..+x9". Это утверждение удовлетворяет твоим требованиям?

Ясно, что аналогичное можно строить и в обратную сторону (отвечаю на второй твой вопрос). Например, возьмем какой-либо четырехугольник, у которого 3 угла прямые. Для четвертого угла есть 3 возможности: острый, прямой, тупой. В первом случае у нас геометрия Лобачевского, во втором Евклида, третьего не бывает (это можно доказать без 5 постулата). Возьмем многочлен от 9 переменных, у которого существует решение в целых числах тогда, и только тогда, когда система аксиом ZFC противоречива. Устроит ли тебя утверждение:

"Для любого решения этого уравнения в целых числах существует четырехугольник, у которого 3 угла прямые, а четвертый равен 1/(x1+x2+...+x9)"

(и в заключении еще раз советую обратиться к специалисту, ибо мне и самому плохо понятно, как же все это может быть)
(Reply) (Parent) (Thread)
From: a_shen
2016-04-20 05:58 pm (UTC)

тут зависит от

слов "геометрически осмысленный" (что именно разрешается). Например, если А - независимое в теории множеств суждение, то "А или сумма углов любого треугольника равна 180" будет иметь разный статус в разных теориях. С другой стороны, как я понимаю, все гиперболические плоскости изоморфны (твои примеры запутываются тем, что там есть ещё единица площади), так что если утверждение касается лишь геометрических объектов, то, видимо, оно доказуемо или опровержимо одновременно во всех (теорема Тарского - модель Пуанкаре показывает, что к гиперболической плоскости это тоже относится)
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: gaz_v_pol
2016-04-21 09:51 am (UTC)
Спасибо, Саша!
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: polytheme
2016-04-20 06:10 pm (UTC)
спасибо.

это всё я и сам понимаю, конечно, поэтому и добавил в скобках
"геометрически осмысленных".

впрочем, действительно, следовало бы ограничиться вопросом "существует ли осмысленное недоказуемое геометрическое утверждение", это по сути одно и то же, но без лишнего тумана.

(на самом деле я поменял "неверное" на "недоказуемое" уже печатая, потому что въехал в вытекающую равносильность 5 постулату - а дальше не подумал).
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: gaz_v_pol
2016-04-21 09:51 am (UTC)
Термин "простое число" можно закодировать геометрически. Один из способов: если число n не является степенью простого числа, то существует выпуклый n-угольник со сторонами длиной 1, 2, . . . , n, все углы которого равны.

Вероятно, через построения правильных n-угольников циркулем и линейкой тоже можно как-то просто определить простое число, но что-то сходу не придумал.

С другой стороны, есть универсальный метод. Подойдет ли тебе такой пример: даны несколько многоугольников, и спрашивается, можно ли их копиями выложить всю плоскость?

Таким образом тоже можно закодировать почти любое разумное утверждение.

Edited at 2016-04-21 09:51 am (UTC)
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: polytheme
2016-04-21 10:14 am (UTC)
да нет же, "осмысленное геометрическое утверждение" - это не "осмысленное утверждение, закодированное с помощью геометрии". осмысленное геометрическое утверждение - это геометрическое утверждение, которое вызывает у тебя интерес, и его хочется доказать. вот те примеры, которые ты приводил (теорема Гудстейна, есть ещё из теории Рамсея примеры и из теории графов) - относительно осмысленные _арифметические, комбинаторные и графовые_ утверждения, недоказуемые в аксиоматике Пеано, они представляют собой некий факт математической реальности, призывающий к доказательству себя, а не мешанину значков, которая никому нахер не нужна. Их можно давать в листочках школьникам, или евреям на устном вступительном экзамене в МГУ, например, и это будет воспринято относительно нормально (теорема Гудстейна так вообще как детская игрушка выглядит).

более того, их можно по-человечески доказать (а теорему Гудстейна ещё и совсем просто). непротиворечивость арифметики тоже можно доказать (с помощью той же трансфинитной индукции), но давать "уравнение Матиясевича" в листочке школьникам - и даже евреям на вступительном экзамене - бессмысленно и антипрофессионально, выгонят из приемной комиссии.

вот я и спрашивал, _не знаешь ли ты пример осмысленного геометрического утверждения_.

ну типа какой-нибудь поризм про окружности нельзя доказать.

---------------------

я, правда, сейчас болею, мне надо сосредоточиться, я чуть потерял исходный тезис, он был совсем не про логику вроде
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: gaz_v_pol
2016-04-21 11:06 am (UTC)
Такого не знаю, увы.
(Reply) (Parent) (Thread)
From: z3vv5yqifqx6
2016-04-21 02:35 pm (UTC)
Ну вот замощения плоскости они на грани… То есть бывают интересные геометрические задачи про замощения и бывают чисто логические или алгебраические, а какая задача какая — становится ясно быстро, ну уже после начала решения.

Теорема Тарского-Зайденберга говорит, что чего-то совсем конкретного и совсем геометрического (существует правильный 19-угольник с диагональю вдвое больше стороны, скажем) не получится, так как можно проверить наличие решений у системы алгебраических уравнений над вещественными числами.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: polytheme
2016-04-21 02:51 pm (UTC)
Ну вот поризм Понселе вполне конкретен и геометричен, но сильно сомневаюсь, что его можно свести к чему-то такому, всё-таки это про автоморфизмы эллиптических кривых.

Но кстати интересно опять, да: есть ли пусть даже в классической алгебраической геометрии такое утверждение ? Что-нибудь вокруг квадратичного комплекса прямых, например. Надо спросить у Миши В.

Замощения - это вообще-то такая же общая штука, как машина Тьюринга, и переведенные на них формально задачи из другого будут задачами типа: а остановится ли данная машина Тьюринга ? Такие задачи не могут быть интересными по определению. Интересная задача про замощения должна быть задача про замощения, а не перевод.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: gaz_v_pol
2016-04-22 11:04 am (UTC)
Возьмем окружности радиусов 4 и 1, центры которых находятся на расстоянии 2. Возьмем на внешней окружности точку и будем строить цепочку Понселе (ломаную, каждое звено которой касается внутренней окружности, а каждая вершина лежит на внешней). Замкнется ли эта цепочка за конечное число шагов?

Вопрос вполне геометричен, на мой вкус -- но решать такого рода вопросы наука не умеет (и по моему убеждению, не научится никогда -- предполагаю, что аналог 10-ой проблемы Гильберта для рациональных чисел имеет тот же ответ, алгоритма не существует).

Или так: есть известная задача о том, что треугольник нельзя построить по трем биссектрисам. Упростим ее -- можно ли построить треугольник по двум биссектрисам? (таких треугольников много, можно ли какой-нибудь из них построить)

В этой конкретной задаче, повозившись, я нашел построение -- но в общем виде, предполагаю, алгоритма не существует. И думаю что для относительно простых случаев, типа суммы медианы с биссектрисой, построить по 2 -- думаю что уже тупик.
(Reply) (Parent) (Thread)
From: z3vv5yqifqx6
2016-04-22 01:26 pm (UTC)
Ну всё-таки вопрос о существовании треугольника с данной суммой бисектрисы и медианы больше похож на вопрос о трисекции угла: построить циркулем и линейкой нельзя, но сводится к решению вполне конкретной системы уравнений. Так что недоказуемость здесь будет вряд ли.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: gaz_v_pol
2016-04-22 01:31 pm (UTC)
Нет, не сводится. Наверное, я плохо объяснил. Решение задачи "построить треугольник, 3 биссектрисы которого равны 3 данным отрезкам" сводится к решению уравнения степени 16 (и можно показать, что это конкретное уравнение степени 16 таково, что Ц+Л построить нельзя).

Решение задачи "построить треугольник, 2 биссектрисы которого равны 2 данным числам" вообще не сводится к решению уравнения. Таких треугольников бесконечно много. Но как узнать, построим ли хотя бы один из них Ц+Л ?

В этом конкретом случае -- да, построить Ц+Л можно. Но это результат везения, а не применения какого-либо алгоритма. Для второй задачи теория Галуа бессильна.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: gaz_v_pol
2016-04-22 10:59 am (UTC)
Теорема Тарского закрывает нам возможность про 19-угольник (или про любой другой многоугольник с конкретным числом сторон), но утверждения, содержащие просто слово "многоугольник" (без указания на число сторон) или слово "ломаная" (без указания на число звеньев) Тарским не охватываются, поэтому там могут быть какие-то странные утверждения.

Я уже приводил пример: при каких n существует выпуклый n-угольник со сторонами длиной 1, 2, . . . , n, все углы которого равны. Ответ: при тех, которые не являются степенью простого числа.

Теоретически что-то похожее может удовлетворять требованиям polytheme.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: savvateev
2016-04-21 04:13 am (UTC)
Лично я ХЗ, сразу точно не скажу
(Reply) (Parent) (Thread)