?

Log in

No account? Create an account
ШЕСТЕРЁНКИ И АДДИТИВНАЯ КОМБИНАТОРИКА - ЗА ВЕРУ, ЦАРЯ И ОТЕЧЕСТВО [entries|archive|friends|userinfo]
ЗА ВЕРУ, ЦАРЯ И ОТЕЧЕСТВО

[ website | Савватеев ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

ШЕСТЕРЁНКИ И АДДИТИВНАЯ КОМБИНАТОРИКА [Sep. 19th, 2016|12:53 pm]
ЗА ВЕРУ, ЦАРЯ И ОТЕЧЕСТВО
Сегодня дал первую контрольную у гуманитарного потока на моей
"Математике для гуманитариев". Первая задача была такая:

У велосипеда сзади 3 шестерёнки, спереди - 8. Сколько у него скоростей?

Потом понял, что ответ на самом деле ответ неоднозначный, ибо некоторые
из этих скоростей могут "совпасть". Попросил указать диапазон возможных
ответов в задаче. Но это тоже несложно. А вот вопрос: какие ответы в
ней в принципе возможны? Сколько разных значений может принимать..

В общем, кажется, это задача по аддитивной комбинаторике :-)))).
А известен ли ответ в общем случае?
linkReply

Comments:
[User Picture]From: edd_l
2016-09-19 01:55 pm (UTC)
В среду постараюсь приехать на велике, чтоб ты убедился, что 3 шестерни СПЕРЕДИ, а не сзади.

PS Навскидку, красивая нетривиальная задача

Edited at 2016-09-19 02:22 pm (UTC)
(Reply) (Thread)
[User Picture]From: savvateev
2016-09-20 06:14 am (UTC)
Ага !!!!!!!!! Я потом это понял, что сзади их больше :-))))))
Задачка суперская вышла !!!!!!
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: osetrov_les
2016-09-19 04:56 pm (UTC)
максимум - 24, минимум - 10
(Reply) (Thread)
[User Picture]From: edd_l
2016-09-19 06:11 pm (UTC)
То, что максимум nm, минимум n+m-1, где n (m) - число шестеренок спереди (сзади), это понятно. Вопрос Леши какие ещё числа из этого диапазона возможны. Можно программку написать, возможно, это что-то прояснит
(Reply) (Parent) (Thread) (Expand)
From: vsvor
2016-09-19 09:32 pm (UTC)
Если ограничений не накладывать, то понятно, что может быть любое число из этого диапазона. Например, в одном наборе последовательные степени двойки, в другом степени двойки подбираются. Или я не понял, что имеется в виду.

Гуманитарии, по идее, должны отвечать, что некоторые скорости запрещены инструкцией к велосипеду.
(Reply) (Thread)
[User Picture]From: edd_l
2016-09-19 11:31 pm (UTC)
Да, всё верно, подход со степенями заменяет произведения на суммы и становится очевидно, что любое число из диапазона возможно. Хорошая школьная задача (я не догадался про степени). С гуманитариями можно поспорить, что "запрещены" не значит, что невозможны для тех, кто цепь не бережёт, а вопрос задачи о возможных скоростях.

Edited at 2016-09-20 12:48 am (UTC)
(Reply) (Parent) (Thread) (Expand)
[User Picture]From: gaz_v_pol
2016-09-20 07:44 am (UTC)
В моем велосипеде нельзя сочетать крайние (противоположные) выборы шестеренок, т.к. цепь становится существенно неплоской и слетает.
(Reply) (Thread)
[User Picture]From: savvateev
2016-09-22 01:54 pm (UTC)
Это чисто гуманитарное замечание :-))))))))
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: chu137
2016-09-20 07:06 pm (UTC)
Вопрос слишком неоднозначный.
Даже просто комбинаторика не работает, т.к. есть заведомо нерабочие комбинации, вроде двух самых больших или двух самых маленьких звезд. Причем на некоторых кассетах, при некоторых регулировках и некотором износе переключателя могут и по 2-3 задние звезды не включаться, при крайних передних.
А уж если передаточные числа (т.е. зубья на звездочках) считать - то там и вовсе темный лес, учитывая что шаг звездочек на задней кассете может быть как линейным (арифметическая прогрессия), так и изрядно нелинейным. А иногда и просто ставят 1-2 непропорционально больших звезды, чтобы влетев в песок (например) резко увеличить крутящий момент, пока не завяз.
Плюс, полно близких или вовсе совпадающих комбинаций вроде 8-32 или 10-41.

В общем - для устного экзамена это еще куда ни шло (если экзаменатор готов обсуждать все эти тонкости), а вот на ЕГЭ, с фиксированными ответами - просто смерь для думающего студента (особенно если думает он не совсем так как автор вопроса).
(Reply) (Thread)
[User Picture]From: savvateev
2016-09-22 01:55 pm (UTC)
Видимо, я уже их всех вышколил как математиков :-)) - Никто подобными вопросами не задался !!!!
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: jura05
2016-09-20 07:36 pm (UTC)
Согласен с vsvor, я бы записал так: фиксируем один набор {1,2,...,n}; второй сначала берём как {1,2,...,m}, потом к последнему элементу начинаем прибавлять по единичке, пока он не станет очень-очень большим. Потом начинаем увеличивать предпоследний элемент по единичке, пока не станет очень большим (но сильно меньше, чем последний). И т.п. Каждый раз кол-во разных сумм либо не меняется, либо увеличивается на 1. Действительно, при увеличении x->x+1 мы можем "потерять" x+1, зато точно "приобретаем" x+n+1 (остальные суммы либо очень большие, либо меньше). Так мы непрерывно пройдём от минимума (n+m-1) к максимуму (nm).

Edited at 2016-09-20 07:38 pm (UTC)
(Reply) (Thread)
[User Picture]From: savvateev
2016-09-22 01:55 pm (UTC)
Ага, до меня вчера (с помощью Эдика)
наконец-то тоже дошло :-))))))))))
(Reply) (Parent) (Thread)
From: vsvor
2016-09-20 08:59 pm (UTC)
Кстати, тут какие-то забавные результаты про мощность суммы Минковского двух конечных подмножеств решетки:

INVERSE ADDITIVE PROBLEMS FOR MINKOWSKI SUMSETS
G. A. FREIMAN, D. GRYNKIEWICZ, O. SERRA, AND Y. V. STANCHESCU

http://www.diambri.org/Mathpdfs/fgss_inverse_new10.pdf

Начинается с этого:



где A, B - множества точек двумерной решетки; n, m - мощности проекций A, B на какую-нибудь прямую.

Edited at 2016-09-21 03:02 am (UTC)
(Reply) (Thread)
[User Picture]From: savvateev
2016-09-22 01:57 pm (UTC)
Спасибо, гляну !!!! Твоё доказательство
я, наконец, понял (Эдик помог) :-)))
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: savvateev
2016-09-22 01:59 pm (UTC)
О, если кинуть на диагональ, выходит
что-то похожее на мою задачку; но там
почему-то вылезает двойка. Или я опять
какой-то тормоз??????
(Reply) (Parent) (Thread) (Expand)