?

Log in

No account? Create an account
ПОДАРОК НА РОЖДЕСТВО !!! - ЗА ВЕРУ, ЦАРЯ И ОТЕЧЕСТВО [entries|archive|friends|userinfo]
ЗА ВЕРУ, ЦАРЯ И ОТЕЧЕСТВО

[ website | Савватеев ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

ПОДАРОК НА РОЖДЕСТВО !!! [Jan. 6th, 2017|10:27 pm]
ЗА ВЕРУ, ЦАРЯ И ОТЕЧЕСТВО
Друзья мои !!!!

Я тут вылез на часик в интернет - мы были в Больших Котах (пешком шли
туда и обратно по ББТ от Листвянки и назад - и на наших глазах Байкал
одевался в лёд!!! Это описать нельзя в принципе, это нужно наблюдать!!!).

Перед тем, как снова пропасть, хочу всех вас поздравить с наступающим
Рождеством !!! А в подарок преподнести кое-что по наводке одного моего
друга, "кладезя" красивых задач по математике - Серёги Маркелова!!!!

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Репьюнитом называется число, составленное (в данной
системе счисления - как правило, в десятичной, конечно) из одних цифр
"1". Первые репьюниты: 1, 11, 111, 1111, и так далее до бесконечности.

ЗАДАЧА. Если репьюнит делится на 2017 (sic!), то он делится и на 9.



РЕШЕНИЕ (Федя Петров и Миша Зубов, а также все остальные читатели
моего ЖЖ, являющиеся математиками высокого уровня, проверяйте!):

1. Делимость репьюнита на 2017, в силу простоты последнего (точнее, в
силу взаимной простоты числа 2017 с числом 9), эквивалентна делимости
числа 9999...999 на 2017. Последнее же - это $10^k-1$, где $k$~--- это
как раз количество единиц в исходном репьюните.

2. По МТФ имеем: $10^2016-1$ делится на 2017, и если $10$~--- первообразный
корень по модулю 2017, то всё было бы доказано - так как 10^r-1 делилось бы
на 2017 ТИТТК r делилось бы на 2016; то есть лишь репьюниты длины, кратной
2016, делились бы на 2017 - тем самым, они имели бы количество единиц, а
следовательно, и сумму цифр, кратную 2016, а, значит, и 9 тоже (9 \| 2016).

3. Но с этим проблема - это надо доказывать (это факт, но для его проверки
нужно возвести 10 в степени 288, 672 и 1008, убеждаясь, что не получится 1).
Блин, в одном из походов с группой Дмитриева я за 4 часа В УМЕ это всё
проделал и убедился в том, что 10 - первообразный корень !!! Но нет, это
вовсе не то доказательство, которое я вам хочу предложить :-)))))!

4. На самом деле можно схитрить: достаточно установить, что 10^672 \neq 1 по
модулю 2017. Тогда период числа 10 будет кратен 9. (Если он не кратен 9, то,
деля 2016, он должен делить и 672 - надеюсь, вы верите, что я это понимаю!).

5, А это происходит ТИТТК число (остаток) 10 не является кубом по модулю
числа 2017! (Тоже, уж на слово поверьте, что я это умею доказывать на
зубок!) Поэтому надо доказать, что 10 - не куб. Как же это сделать?....

6. И тут я открываю своего любимого Аэрленда, Роузена, глава 9. Вспоминаю,
что никогда не понимал, каково может быть ШКОЛЬНОЕ оправдание анализу
кубических вычетов а-ля Эйзенштейн! И вот, в 2017 году, задачей про 2017
Серёга Маркелов мне подбрасывает материал !!!! Ура, ура, на Алкошколе
в августе 2017 года есть миникурс !!!! (В феврале уже будет Эрлангенская
программа Клейна и всякая геометрия.)

7. Итак, вылезаем в кольцо Эйзенштейна - то самое, в котором можно решить
уравнение Ферма при n=3, а также y^2=x^3+1 !!!!! И находим там теорему:
Характер кубического вычета двух приведённых простых друг по другу должен
всегда совпадать !!!!!! Ура !!!!!!!! Этого-то нам и не хватает !!!!!!!

8. Быстренько раскидываем $2017 = (41 + 48\omega) (-7 - 48\omega)$ (что
само по себе замечательно, наряду с $2017 = (44+9i)(44-9i) в Гауссовых!),
а также $10 = 2\times 5$~--- оба разложения на примитивные простые в
этом кольце (то есть целая часть даёт остаток 2 по модулю 3, а часть при
\omega делится на 3 нацело; любое простое имеет такой представитель)!

9. Теперь четыре раза пользуемся кубическим законом взаимности, чтобы
получить, что 2 является кубом по модулю обоих чисел, а 5^3 в одном
случае даёт остаток \omega, а в другом~--- \omega^2 (опускаю не очень
сложные арифметические выкладки в кольце Эйзенштейна :-))). В принципе,
этого уже достаточно - ибо тогда 10 даёт разные остатки при делении на
оба множителя числа 2017, и следовательно не может давать остаток 1 при
делении на него, и задача решена. Но я ещё чуток потрудился, и вывел,
что 10^672 равняется 294 по модулю 2017.

10. Всегда вишенка на торте - это проверка калькулятором. Если я нигде
не ошибся, то 294 должно иметь порядок 3 по модулю 2017, то есть число
294^3 за вычетом 1 должно нацело на 2017 разделиться !!! Как выражается
Андрей Михайлович Райгородский, настал катарсис - всё сошлось !!!!!!!!
linkReply

Comments:
[User Picture]From: k_150
2017-01-06 08:36 pm (UTC)
По современному, задача решается так. Проверяется в лоб, что 10^672-1 не делится на 2017. Это доли секунды компьютерного времени. Отсюда следует, что если n минимальное число такое, что 10^n -1 делится на 2017, то n делитель 2016 = 3*672 по малой теореме Ферма, но не делитель 672. Таким образом, n делится на 9.
(Reply) (Thread)
[User Picture]From: edd_l
2017-01-06 08:48 pm (UTC)
Для выполнения этой операции https://www.wolframalpha.com/input/?i=10%5E672+mod+2017
нужен, по крайней мере, интернет. Лёша же проделал тоже самое в уме (на листочке бумаги).

Edited at 2017-01-06 09:02 pm (UTC)
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: k_150
2017-01-07 01:16 am (UTC)
Я вам гарантирую, что современно решение поймёт на порядок больше студентов, чем Лёшино. А те кто поймут его, лучше бы занялись другими, не менее красивыми и более полезными областями математики.
(Reply) (Parent) (Thread) (Expand)
[User Picture]From: akhrabrov
2017-01-07 05:37 am (UTC)
Да ну, там всего 12 умножений по модулю 2017, это и на листочке бумаги можно сделать. А уж с калькулятором в руке вообще несколько минут.
(Reply) (Parent) (Thread) (Expand)
From: z3vv5yqifqx6
2017-01-07 08:06 pm (UTC)
Тяжкий вопрос современного мира — что полезно уметь делать в уме, а про что надо просто обеспечить, что телефон это умеет делать и без связи… Вопрос и правда осмысленный, хотя в данном случае и поставить правильную программу на смартфон тоже не помешает.
(Reply) (Parent) (Thread) (Expand)
[User Picture]From: savvateev
2017-01-12 02:03 pm (UTC)
в уме, на лыжах, безо всякой бумаги !!!!!!!
(Но не совсем то - а проверку, что 10 -
первообразный корень)
(Reply) (Parent) (Thread) (Expand)
[User Picture]From: savvateev
2017-01-12 02:08 pm (UTC)
на это Эдик ответил. Мне было интересно найти
оправдание кубическому закону взаимности !!!!

И по сложности всё же упрощение значительное!!!
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: sergantche
2017-01-08 11:03 am (UTC)
Долго смотрел на пункт 2 и не мог понять как же так.
"По МТФ имеем: $10^2016$ делится на 2017"
А потом подумал, что наверное это просто опечатка и все кто прочитал доказательство сразу это поняли не обращая внимания.
Уважаемые математики, так ли это?
(Reply) (Thread)
[User Picture]From: edd_l
2017-01-08 01:31 pm (UTC)
Да, всё так: по Малой Теореме Ферма имеем: $10^2016-1$ делится на 2017.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: savvateev
2017-01-12 02:08 pm (UTC)
всё нормально, описок нет (в этом месте)
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: edd_l
2017-01-12 03:00 pm (UTC)
$10^2016$ написано, а надо то же без единицы, исправь.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: savvateev
2017-01-13 02:06 am (UTC)
АААА!!!!!!!
У меня просто глаз намылен, я физически
не видел, что там нет единицы !!!! Спасибо !!!!!
Теперь всё поправил (и ещё в одном месте) -
проверяй на всякий случай :-)))))
Во как бывает :-)))))
Спасибо тебе и sergantche !!!!
(Reply) (Parent) (Thread) (Expand)
[User Picture]From: savvateev
2017-01-13 02:05 am (UTC)
Ой !!!!!! Я просто физически не мог заметить,
сколько не смотрел!!! КОНЕЧНО, ВЫ ПРАВЫ !!!!!
Надо читать так: "$10^2016-1$ делится на 2017"

СПАСИБО !!!! Исправил !!!!!
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: osetrov_les
2017-02-05 07:08 pm (UTC)

офтоп

Статья Каганского про Байкал http://www.vsp.ru/social/2017/01/31/567674
(Reply) (Thread)
[User Picture]From: savvateev
2017-02-08 08:48 am (UTC)

Re: офтоп

чиркни на мыло, я напишу, что об этом думаю
hibiny
на мэйл ру
(Reply) (Parent) (Thread)