| ПОДАРОК НА РОЖДЕСТВО !!! |
[Jan. 6th, 2017|10:27 pm]
ЗА ВЕРУ, ЦАРЯ И ОТЕЧЕСТВО
|
Друзья мои !!!!
Я тут вылез на часик в интернет - мы были в Больших Котах (пешком шли
туда и обратно по ББТ от Листвянки и назад - и на наших глазах Байкал
одевался в лёд!!! Это описать нельзя в принципе, это нужно наблюдать!!!).
Перед тем, как снова пропасть, хочу всех вас поздравить с наступающим
Рождеством !!! А в подарок преподнести кое-что по наводке одного моего
друга, "кладезя" красивых задач по математике - Серёги Маркелова!!!!
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Репьюнитом называется число, составленное (в данной
системе счисления - как правило, в десятичной, конечно) из одних цифр
"1". Первые репьюниты: 1, 11, 111, 1111, и так далее до бесконечности.
ЗАДАЧА. Если репьюнит делится на 2017 (sic!), то он делится и на 9.
РЕШЕНИЕ (Федя Петров и Миша Зубов, а также все остальные читатели
моего ЖЖ, являющиеся математиками высокого уровня, проверяйте!):
1. Делимость репьюнита на 2017, в силу простоты последнего (точнее, в
силу взаимной простоты числа 2017 с числом 9), эквивалентна делимости
числа 9999...999 на 2017. Последнее же - это $10^k-1$, где $k$~--- это
как раз количество единиц в исходном репьюните.
2. По МТФ имеем: $10^2016-1$ делится на 2017, и если $10$~--- первообразный
корень по модулю 2017, то всё было бы доказано - так как 10^r-1 делилось бы
на 2017 ТИТТК r делилось бы на 2016; то есть лишь репьюниты длины, кратной
2016, делились бы на 2017 - тем самым, они имели бы количество единиц, а
следовательно, и сумму цифр, кратную 2016, а, значит, и 9 тоже (9 \| 2016).
3. Но с этим проблема - это надо доказывать (это факт, но для его проверки
нужно возвести 10 в степени 288, 672 и 1008, убеждаясь, что не получится 1).
Блин, в одном из походов с группой Дмитриева я за 4 часа В УМЕ это всё
проделал и убедился в том, что 10 - первообразный корень !!! Но нет, это
вовсе не то доказательство, которое я вам хочу предложить :-)))))!
4. На самом деле можно схитрить: достаточно установить, что 10^672 \neq 1 по
модулю 2017. Тогда период числа 10 будет кратен 9. (Если он не кратен 9, то,
деля 2016, он должен делить и 672 - надеюсь, вы верите, что я это понимаю!).
5, А это происходит ТИТТК число (остаток) 10 не является кубом по модулю
числа 2017! (Тоже, уж на слово поверьте, что я это умею доказывать на
зубок!) Поэтому надо доказать, что 10 - не куб. Как же это сделать?....
6. И тут я открываю своего любимого Аэрленда, Роузена, глава 9. Вспоминаю,
что никогда не понимал, каково может быть ШКОЛЬНОЕ оправдание анализу
кубических вычетов а-ля Эйзенштейн! И вот, в 2017 году, задачей про 2017
Серёга Маркелов мне подбрасывает материал !!!! Ура, ура, на Алкошколе
в августе 2017 года есть миникурс !!!! (В феврале уже будет Эрлангенская
программа Клейна и всякая геометрия.)
7. Итак, вылезаем в кольцо Эйзенштейна - то самое, в котором можно решить
уравнение Ферма при n=3, а также y^2=x^3+1 !!!!! И находим там теорему:
Характер кубического вычета двух приведённых простых друг по другу должен
всегда совпадать !!!!!! Ура !!!!!!!! Этого-то нам и не хватает !!!!!!!
8. Быстренько раскидываем $2017 = (41 + 48\omega) (-7 - 48\omega)$ (что
само по себе замечательно, наряду с $2017 = (44+9i)(44-9i) в Гауссовых!),
а также $10 = 2\times 5$~--- оба разложения на примитивные простые в
этом кольце (то есть целая часть даёт остаток 2 по модулю 3, а часть при
\omega делится на 3 нацело; любое простое имеет такой представитель)!
9. Теперь четыре раза пользуемся кубическим законом взаимности, чтобы
получить, что 2 является кубом по модулю обоих чисел, а 5^3 в одном
случае даёт остаток \omega, а в другом~--- \omega^2 (опускаю не очень
сложные арифметические выкладки в кольце Эйзенштейна :-))). В принципе,
этого уже достаточно - ибо тогда 10 даёт разные остатки при делении на
оба множителя числа 2017, и следовательно не может давать остаток 1 при
делении на него, и задача решена. Но я ещё чуток потрудился, и вывел,
что 10^672 равняется 294 по модулю 2017.
10. Всегда вишенка на торте - это проверка калькулятором. Если я нигде
не ошибся, то 294 должно иметь порядок 3 по модулю 2017, то есть число
294^3 за вычетом 1 должно нацело на 2017 разделиться !!! Как выражается
Андрей Михайлович Райгородский, настал катарсис - всё сошлось !!!!!!!! |
|
|
