?

Log in

No account? Create an account
Первый раз, в первый класс ! - ЗА ВЕРУ, ЦАРЯ И ОТЕЧЕСТВО [entries|archive|friends|userinfo]
ЗА ВЕРУ, ЦАРЯ И ОТЕЧЕСТВО

[ website | Савватеев ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Первый раз, в первый класс ! [Sep. 27th, 2010|06:02 pm]
ЗА ВЕРУ, ЦАРЯ И ОТЕЧЕСТВО
Сегодня познакомился с новым первым курсом РЭШ.
Как всегда, студенты на высоте, живые, мотивированные.

Мир вокруг меняется, но уровень студентов в Школе -
завидная мировая константа. Так держать! К концу
двух лекций уже еле на ногах стоял, выложился.

Тем временем, Саша Шень просил выложить

Пусть у нас есть игрок (инвестор), который приходит в казино (на биржу) с единичным капиталом и играет (на свои, не уходя в минус). Тогда его капитал меняется со временем - может, скажем, сначала сильно возрасти, а потом упасть до нуля, и пр. Мы хотим, наблюдая за ним, тоже делать ставки (начав с единицы и не уходя в минус), с таким условием:

В любой момент наш капитал не меньше F(максимальное значение его капитала на протяжении всей игры до текущего момента).

Другими словами, мы хотим быть в выигрыше, хотя бы и не таком большом, как у него (F(X) \le X), даже если потом он этот свой выигрыш растерял. Вопрос: для каких (неубывающих) функций F существование такой стратегии можно гарантировать? (Ответ здесь такой: интеграл \int_1^\infty F(x)/x^2 dx \le 1, он довольно несложно получается, но наверно это какой-то стандартный вопрос? если ты не знаешь, то кого стоит спросить - чтобы не спрашивать всех подряд?) Другая интерпретация: можно купить сейчас на рубль какой-то акции (или золота) и продавать его так, чтобы в любой момент иметь не менее F(m), где m - максимальный рост в цене до текущего момента

UPD от Саши: мы не всегда хотим быть в выигрыше (это невозможно), мы хотим, чтобы наш капитал был не меньше F(его максимума), но F(1) может быть (и должно быть - для нетривиальных F) меньше единицы...
linkReply

Comments:
From: a_shen
2010-09-27 02:14 pm (UTC)

заметил неточность -

мы не всегда хотим быть в выигрыше (это невозможно), мы хотим, чтобы наш капитал был не меньше F(его максимума), но F(1) может быть (и должно быть - для нетривиальных F) меньше единицы...
(Reply) (Thread)
[User Picture]From: mi_b
2010-09-27 03:09 pm (UTC)
а у Ширяева вы спрашивали?
(Reply) (Parent) (Thread)
From: a_shen
2010-09-27 03:44 pm (UTC)

пока нет -

надо сначала убедиться, что это не совсем общеизвестно, прежде чем тревожить великих людей...
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: mi_b
2010-09-27 03:47 pm (UTC)

Re: пока нет -

еще на мехмате был какое-то время назад Саша Черный, но я не помню, не уехал ли он

или можно попробовать поискать по ключевым словам. Я бы это назвал martingale superreplication of a lookback option
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: west_end_boy
2010-10-05 03:02 pm (UTC)

Re: пока нет -

угу, только тут скорее american lookback option получается, для которых аналитического решения даже в простейших случаях нет, незнаю уж как там с суперрепликацией.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: mi_b
2010-09-27 03:51 pm (UTC)

Re: пока нет -

кстати, в том, что этот интеграл дает достаточное условие без предположений о процессе, я как-то сомневаюсь. но я в этом не слишком хорошо разбираюсь
(Reply) (Parent) (Thread)
From: a_shen
2010-09-27 05:05 pm (UTC)

это как раз

объясняется просто. Пусть функция F_c(x) устроена так: при x
[Error: Irreparable invalid markup ('<c [...] 0,>') in entry. Owner must fix manually. Raw contents below.]

объясняется просто. Пусть функция F_c(x) устроена так: при x<c она равна 0, а при x>c она равна c. Это соответствует стратегии: играть как раньше, но как только будет c, выйти из игры.

Дальше эти стратегии F_c можно смешивать с весами (часть денег употребить по одной, часть по другой) - а затем можно проверить, что любая функция F, у которой интеграл F(y)/y^2 не больше 1, является смесью стратегий F_c (бесконечного числа, в смысле интеграла)
(Reply) (Parent) (Thread) (Expand)
[User Picture]From: mi_b
2010-09-28 09:30 am (UTC)

Re: это как раз

интересная идея, я такого не знал

забавно, что эта задачка (и решение) довольно осмысленны с практической точки зрения. это очень редко случается с задачками в этой области, которые поставлены математиками ;)
(Reply) (Parent) (Thread) (Expand)
[User Picture]From: west_end_boy
2010-10-05 01:31 pm (UTC)

Re: это как раз

Сразу предупреждаю, я далеко не специалист в этих вопросах, но появились кое-какие мысли, которыми делюсь в надежде помочь.

1. Во-первых, что вызывает вопросы в вашем рассуждении. Действительно, такие функции F_c задают допустимые стратегии в задаче, и я верю, что ваше интегральное неравенство точно описывает все их комбинации. Но мне вовсе не очевидно, почему эти функции F_c описывают ВСЕ допустимые стратегии, или хотя бы являются адекватным базисом. Это, кмк, основной момент в доказательстве Необходимости данного неравенства.
(Reply) (Parent) (Thread) (Expand)
Re: да, эта - (Anonymous) Expand
From: (Anonymous)
2010-09-28 10:27 pm (UTC)
Собственно, http://arxiv.org/abs/1005.1811
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: mi_b
2010-09-27 03:59 pm (UTC)

Re: пока нет -

для диффузий можно воспользоваться этим результатом

http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.49.6538

и потом динамически реплицировать портфель коллов
(Reply) (Parent) (Thread)
From: a_shen
2010-09-27 05:05 pm (UTC)

Re: пока нет -

н-да, ещё бы я что-нибудь в этих словах понял:-)

попробую поговорить с коллегами, они грамотнее
(Reply) (Parent) (Thread) (Expand)
[User Picture]From: colena
2010-09-28 02:11 pm (UTC)

Re: пока нет -

Саша Чёрный уехал.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: west_end_boy
2010-10-05 03:24 pm (UTC)

Re: пока нет -

а куда, если не секрет?
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: savvateev
2010-09-28 03:26 am (UTC)

Re: заметил неточность -

Сейчас подправлю!
(Reply) (Parent) (Thread)